Марис Лиепа родился 27 июля 1936 года в Риге, столице Латвии. Его отец, Эдуард Лиепа, работал машинистом сцены Латвийской национальной оперы.
Марис - тринадцатилетний серьезный рижский мальчик: первое участие в конкурсе в Москве. Первое па-де-де из "Щелкунчика". Первый успех. Только с этого момента он решил, что балет - его судьба (раньше мог и удрать с класса на футбол и даже был однажды наказан за это поркой).
"Балет не может быть карьерой, балет может быть только судьбой".
В 1955 Марис Лиепа с отличием окончил Московское академическое хореографическое училище и имел все шансы остаться в Москве. Однако, Министерство культуры Латвийской республики потребовало возвращения выпускника МАХУ в Ригу.
Летом 1956 Лиепа принял приглашение поступить в труппу второго балетного театра Москвы – Московского академического Музыкального театра им. Станиславского и Немировича-Данченко. В этой труппе он проработал четыре сезона, сразу же получив ведущее положение.
В 1957 Марис Лиепа участвовал в конкурсе классического и характерного танца на VI Всемирном фестивале молодежи и студентов и получил золотую медаль
После гастролей в Польше Лиепа получил в 1960 приглашение от главного балетмейстера Большого театра СССР Л. Лавровского поступить в труппу ведущего балетного театра страны. В начале сезона 1960-61 состоялся его официальный дебют на сцене Большого театра, в партии Базиля в "Дон Кихоте". В этом сезоне Лиепа также станцевал Вакха в "Вальпургиевой ночи" и Ленни, чернокожего юношу, влюбленного в белую девушку, в балете "Тропою грома" (в постановке К. Сергеева) - партии, подготовленные артистом еще к гастролям в Польше.
В 1961 Лиепа подготовил новые партии в классическом и современном репертуаре. Первой из этих партий стал Зигфрид в "Лебедином озере" в знакомой ему по гастролям с Плисецкой редакции Горского – Мессерера, а второй - Альберт в "Жизели". Эта роль стала этапной в его артистической карьере, именно за нее Лиепа впоследствии получил в Париже премию имени Вацлава Нижинского.
1963 год стал для Лиепы началом педагогической деятельности (танцовщику исполнилось 27 лет) – он взял мужской класс в Московском академическом хореографическом училище, и началом творческой деятельности вне театра: именно в 1963 г. Лиепа впервые подготовил свой творческий вечер, прошедший на сцене Концертного зала им. П.И. Чайковского.
В 1969 Марис Лиепа снялся в роли Гамлета в одноименном телебалете "Гамлет" на музыку Шостаковича (хореография Камкова).
В 1969 году Лиепа снялся в главной мужской роли - Анри в телебалете "Имя твое" на музыку Пуленка (хореография Лапаури и Тарасовой).
В 1970 году Марис Лиепа вместе с Екатериной Максимовой снялся в популярном телебалете "Галатея" (хореография Брянцева) в роли профессора Хиггинса. За вклад артиста в мировое балетное искусство Парижская академия танца присудила Лиепе приз имени Мариуса Петипа.
В 1970 Марис Лиепа станцевал в новой версии "Лебединого озера" Григоровича.
Конец 60-х – начало 70-х годов – период триумфальных зарубежных гастролей Большого театра по всему миру, в том числе в ведущих балетных странах - во Франции, Англии и США. На этих гастролях Лиепа получает мировое признание.
В 1970 г. за роль Красса Лиепе была присуждена высшая государственная награда СССР в области литературы и искусства – Ленинская премия.
В 1971 Марис Лиепа был признан Парижской академией танца лучшим танцовщиком года и награжден премией Вацлава Нижинского.
В период незанятости в Большом театре Марис Лиепа активно сотрудничал с новой балетной труппой под руководством Бориса Эйфмана: в 1981 он станцевал Рогожина в "Идиоте" Эйфмана и солиста в "Автографах" вместе с Аллой Осипенко. В этом же году Лиепа провел творческий вечер в Большом концертном зале в Олимпийской деревне, завершил учебу на балетмейстерском отделении ГИТИСа, поставил балет "Дон Кихот" и несколько балетных миниатюр в Днепропетровском театре оперы и балета.
Только через два года "безработицы" в театре по личному приказу Министра культуры СССР Демичева 28 марта 1982 состоялось возвращение Лиепы на сцену Большого театра. Триумфально станцованный в тот вечер Красс стал последним выступлением Мариса Лиепы на сцене любимого театра: после "бенефиса" его вынудили уйти на пенсию (артисту было 45 лет).
Уход из Большого театра не стал концом балетной и артистической карьеры Мариса. И в период работы в Большом театре, и после ухода он вел обширную творческую деятельность за пределами театра.
С 1963 по 1980 г. Лиепа преподавал в Московском академическом хореографическом училище, выпустил один мужской класс (самым известным танцовщиком этого выпуска стал Акимов), затем вел класс поддержки.
Артист активно сотрудничал с драматическим театром в качестве постановщика сценического движения и танцев, в том числе поставил "пластику" в знаменитом спектакле "Антоний и Клеопатра" Вахтанговского театра.
Драматический талант Мариса Лиепы был востребован на телевидении и в кино вне балетной сферы.