Основное значение слова «стих» (от греческого stichos — ряд, строка) — единица рифмованной речи, то есть стихотворная строка; а ещё это «художественная рифмованная речь», отличная от прозы. Мы можем сказать «есенинский стих», что будет обозначать совокупность поэтического достояния со стилем, характерным только для определенного автора (в этом случае для Есенина).
Ещё один пример «владеть стихом», то есть уметь писать в стихах, а не в прозе.
Учителя правы, что «стих» как синоним слову «стихотворение» относится только к разговорной речи. Но это слишком строгая литературная норма, между этими словами в разговорной речи уже давно стерты границы, и даже сами учителя часто не могут грамотно объяснить, почему же нужно выучить «стихотворение Бальмонта», а не «стих Бальмонта».