«Пойдем(,) поедим», «сижу(,) читаю». В таких сочетаниях часто ставят запятые, потому что ошибочно принимают их за однородные члены предложения. Но это не так. «Сижу читаю» — это одно действие, а не два разных. Просто тут есть основное действие, а есть «поддействие». Так же, как и в случае «пойдем поедим». Пойдем — приглашение, направление, поедим — цель. Вместе они образуют одно действие.

«Снег в Сочи(,) наконец(,) выпал». Действительно, что делать со словом «наконец»? Когда его выделять запятыми, а когда нет? Чаще всего выделяют на всякий случай независимо от того, вводное это слово или обстоятельство. В этом предложении про снег запятая не нужна — это обстоятельство. Снег выпал когда, в какой момент? Наконец.
Но бывают случаи, когда запятая нужна. Например, если слово «наконец» выражает недовольство, нетерпение, досаду, оно обособляется как вводное: «Да хватит, наконец!»
Также «наконец» нужно выделять запятыми, когда оно находится в ряду перечислений: «Я никуда сегодня не пойду. Во-первых, я занят. Во-вторых, на улице плохая погода. Наконец, мне просто лень».
МН