Буду рассказывать, как всегда, на примере браузера Opera.

(Все картинки кликабельны: кликните л.к.м по картинке и она откроется в полный размер.)

1. Находим видео-ролик, просматриваем его.
2. Затем в меню браузера кликаем ВИД → Средства разработки → КЭШ
[показать]

3. Откроется сраница "Содержание кэша"
[показать]

Ставим галочку в окошке напротив video/x-flv и жмём Показать всё.

4. В новом окне вам будут показаны последние видео-файлы, которые вы просматривали.
[показать]

Выбирать приходится интуитивно - по размеру файла. А можно заранее (до просмотра) посмотреть кэш и
скопировать те файлы, что уже там находятся, а потом, сравнив, выбрать вновь загруженный.

5. Правой кнопкой кликаем по файлу и в контекстном меню выбираем Сохранить по ссылке как
[показать]
Выбираете папку, меняете название файла и жмёте Сохранить.

или Сохранить в папку загрузки
[показать]
Всё! Файл сохранён! Смотрите и наслаждайтесь!

P.S.Точно так же можно скачивать и с других серверов.