Существует очень много знаменитых парадоксов. Мне захотелось привести только некоторые из них, которые заинтересовали меня лично. Итак, что же такое "парадокс"?
[показать]
Из определения википедии:
Парадокс - ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Следует различать парадокс и апорию. Апория, в отличие от парадокса, является вымышленной, логически верной, ситуацией (высказыванием, утверждением, суждением или выводом), которая не может существовать в реальности.
В самом широком смысле под парадоксом понимают высказывание, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным (зачастую лишь при поверхностном понимании). Парадокс, в отличие от афоризма, поражает неожиданностью. Например, уайльдовский «Разводы совершаются на небесах». Парадокс — это всегда полуправда и это, как говорил Оскар Уайльд, «лучшее, чего мы можем достичь, потому что абсолютных правд не существует». Парадокс своей стилизованной формой напоминает афоризм. В парадоксе привычная истина рушится на глазах и даже высмеивается. Например, «Я слышал столько клеветы в Ваш адрес, что у меня нет сомнений: Вы — прекрасный человек!» (О. Уайльд), «Взаимное непонимание — самая подходящая основа для брака» (О. Уайльд).
------------------------------------------------
Теперь несколько любопытных парадоксов (некоторые из них не так уж парадоксальны и вполне соответствуют истине):
------------
Человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя.
------------
"Парадокс убитого дедушки: вы перемещаетесь в прошлое и убиваете своего дедушку до того, как он познакомился с Вашей бабушкой. Из-за этого Вы не сможете появиться на свет и, следовательно, не сможете убить своего дедушку".
------------
"Парадокс интернета: вероятность существования нужной информации в Интернете возрастает, а возможность её найти уменьшается".
(Этот мне особенно понравился, тем более, что с действием этого парадокса я сталкиваюсь постоянно).
[596x700]
------------
Парадокс Ньюкома: был придуман физиком Уильямом Ньюкомом (внук Саймона Ньюкомба) в 1960 году. Парадокс предполагает мысленный эксперимент, игру с двумя участниками — предсказателем (который может безошибочно предсказывать будущее) и собственно игроком.
Описание
Предсказатель ставит перед игроком две коробки — открытую и закрытую. В открытой коробке находится тысяча долларов, в закрытой — либо миллион долларов, либо ничего. Игрок может взять себе или только закрытую коробку, или обе коробки вместе. Содержимое коробки зависит от предсказателя:
Если он предскажет, что игрок выберет обе коробки, то закрытая коробка будет пустой
Если предсказывается, что игрок выберет закрытую коробку, то коробка будет содержать миллион долларов.
Какую коробку следует выбрать игроку, чтобы получить наибольшую сумму? Ему известны все условия игры, известно, что содержимое коробки зависит от предсказаний; единственное, что ему неизвестно, — это какое именно из двух предсказаний сделано.
Объяснение
Впервые опубликовал и проанализировал парадокс философ из Гарвардского университета Роберт Нозик. Работа Нозика опиралась на такие разделы математики как теория игр и теория принятия решений.
Задача называется парадоксом, так как для ее решения существует три интуитивно логичных и внешне непротиворечивых способа рассуждения.
С одной стороны, если считать, что предсказатель может ошибаться, то независимо от того, какое предсказание сделал предсказатель, выгоднее выбрать обе коробки. При этом можно руководствоваться следующими соображениями: если был предсказан первый вариант, то игрок получит либо тысячу долларов, либо ничего. Если же было сделано второе предсказание, то игрок фактически выбирает между 1000000$ и 1001000$. Поэтому выбирая всегда обе коробки игрок получит больше денег.
С другой стороны, если считать, что сделав выбор, игрок повлияет на предсказание (которое будет безошибочным), то таких результатов как 0$ и 1001000$ (расхождений в предсказании и выборе игрока) не может получиться в принципе. Поэтому игрок может получить либо тысячу (если он выберет обе коробки, то вторая будет пустой), либо миллион (если выберет только закрытую).
Наконец, если считать, что предсказатель уже безошибочно предсказал будущее, то игроку не о чем беспокоиться: выбор уже сделан за него и до него, он лишь механически исполняет неизбежное.
Подробный обзор различных, в том числе и противоположных, взглядов на разрешение парадокса Ньюкома приведён в разделе «Математические игры» журнала Scientific American Мартином Гарднером (июль 1973) и профессором Нозиком (март 1974).
Значение
Парадокс соотносится с философскими проблемами о свободе воли и предопределенности наших действий.
[700x536]
------------
Парадокс нигилизма: если правды не существует, то утверждение «правды не существует» верно, что доказывает его неверность.
------------
Юридический парадокс:
Парадокс неподсудного договора: если существует процессуальное правило о том, что судья, рассматривающий дело, не должен быть заинтересован в исходе его рассмотрения, то дело, имеющее в себе договор, содержащий следующее условие: «Каждый судья, который будет рассматривать дело, в котором этот договор является доказательством, в случае признания его ничтожным имеет право получить от каждой из его сторон по 1 копейке», не может быть рассмотрено никаким судьёй.
------------
Шуточный парадокс:
Парадокс кошки с маслом — шуточный псевдопарадокс, основанный на двух народных мудростях:
- кошки всегда приземляются на лапы;
- бутерброд всегда падает маслом вниз (закон бутерброда или закон подлости).
[209x535]Противоречие возникает, если рассмотреть кошку, к спине которой прикреплён бутерброд (маслом вверх), падающую на пол.
Мысленный эксперимент
Парадокс представляет особый интерес, если предположить, что кошки действительно всегда приземляются на лапы, а все бутерброды падают маслом вниз.
Некоторые в шутку утверждают, что результатом эксперимента станет антигравитация. По их словам, падение кошки замедлится с приближением к земле, а она начнёт вращаться, пытаясь приземлиться на лапы, но в то же время и на масло бутерброда. В конце концов, она должна достигнуть стабильного состояния, вися недалеко от земли и вращаясь с большой скоростью. Это, однако, было бы возможно только при отсутствии воздуха, иначе, по закону сохранения энергии, сопротивление воздуха вращению должно было бы исчерпать гравитационную энергию падения.
[546x628]
Также существует мнение, что кошка слижет масло с бутерброда и приземлится на лапы.
На самом деле, никакого противоречия нет. Даже если предположить, что кошки всегда приземляются на лапы, а бутерброды с маслом всегда падают маслом вниз, то в первом случае на лапы приземлится кошка, а бутерброд так и останется «не упавшим». Во втором — маслом вниз упадёт бутерброд, а кошка будет «не упавшей». Ну, а какой из вариантов наиболее вероятен — это сильно зависит от начальных условий. Правда, остаётся ещё вариант падения этой «конструкции» из кошки и бутерброда на бок, но он не рассматривается, поскольку мы предполагаем абсолютную истинность первых двух утверждений.
Второй вариант разрешения противоречия, предложенный В. Ножновым, заключается в том, что кошка с привязанным бутербродом является составным объектом и поэтому не может являться «кошкой» в первом правиле или «бутербродом» из второго правила. То есть правила «бутерброда» или «кошки» определены только для отдельных элементов типа «кошка» или «бутерброд». В противном случае, железнодорожный рельс или грузовик с привязанным бутербродом должен был бы упасть маслом вниз. На языке физики это означает, что для ремешка, связывающего кота и бутерброд, не применима модель абсолютно твёрдого тела.
[424x480]
------------
Парадоксы теории вероятности:
Пол второго ребенка: если один из двух детей в семье — мальчик, какова вероятность того, что второй ребёнок — девочка?
Задача трёх узников — парадокс теории вероятностей, имеющий общую природу с парадоксом Монти Холла. Этот парадокс впервые опубликовал Мартин Гарднер в 1959 году.
[280x194]
Формулировка:
Трое заключённых, A, B и С заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключённый A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключённого, кто точно будет казнён: «Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое имя».
Стражник говорит заключённому A, что заключённый B будет казнён. Заключённый A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3, как была до этого. Заключённый A тайно говорит заключённому С, что B будет казнен. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А — 1/3, а его вероятность выживания возросла до 2/3. Как такое может быть?
Решение:
Ответ заключается в том, что заключённый A не получил информацию о своей собственной судьбе. Заключённый A до того, как спросить стражника, оценивает свои шансы как 1/3, так же как B и C. Когда стражник говорит, что B будет казнён, это всё равно, что вероятность того, что С помилован (вероятность 1/3) или A помилован (вероятность 1/3), и монета, выбиравшая между B и C, выбрала B. (Вероятность — 1/2; в целом вероятность того, что назван B — 1/6, поскольку A помилован). Поэтому, узнав, что B будет казнён, заключённый A оценивает шансы на помилование таким образом: его шансы теперь — 1/3, но теперь, зная, что B точно будет казнён, шансы С на помилование теперь 2/3.
Интуитивное решение:
Заключённый A имеет шансы на помилование 1/3. Знание того, кто из B и C будет казнён не меняет этого шанса. После того как заключённый А узнает, что B будет казнён, он осознаёт, что если он сам не помилован, то шанс того, что C будет помилован, теперь 2/3.
Материалы для понимания:
Так же, как с проблемой Монти Холла, здесь будет полезно посмотреть на эту проблему с разных точек зрения.
Список возможных случаев:
Могут возникнуть следующие случаи:
A помилован, и стражник объявляет, что B будет казнён: 1/3×1/2=1/6 от всех случаев
A помилован, и стражник объявляет, что C будет казнён: 1/3×1/2=1/6 от всех случаев
B помилован, и стражник объявляет, что C будет казнён: 1/3 от всех случаев
C помилован, и стражник объявляет, что B будет казнён: 1/3 от всех случаев
С оговоркой, что в ситуации когда А помилован (вероятность такой ситуации 1/3) стражник случайно выбирает имя казнённого, получается шанс 1/2, что он скажет «B» и 1/2 что он скажет «C». Это означает что вероятности: 1/6 в то время как (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет B]), стражник называет B, потому что A помилован, и (1/3 [А действительно помилован] * 1/2 [стражник называет C]) стражник называет C, потому что A помилован. Всего это составляет 1/3 от всех случаев (1/6 + 1/6) когда А помилован.
Теперь ясно, что когда стражник отвечает «Казнён будет B» на вопрос заключенного А, это 1 случай из 4, что происходит в 1/2 от всех случаев, 1/3 — вероятность того, что С помилован. но A всё равно будет казнён (случай 4), и только 1/6 — вероятность того, что A помилован (случай 1). Следовательно, шансы С: (1/3)/(1/2)=2/3, шансы A: (1/6)/(1/2)=1/3.
Основной загвоздкой здесь является то, что стражник не может говорить имя того, кто будет помилован. Если исключить это условие, исходную задачу можно переформулировать так: заключённый просит стражника сказать ему судьбу одного из двух заключённых B и С, не уточняя, кто будет казнён. В этом случает, стражник подбрасывает монету, чтобы выбрать между B и С, и затем говорит судьбу одного из них. При такой формулировке возможны следующие случаи.
A помилован, стражник говорит: B будет казнён (1/6)
A помилован, стражник говорит: C будет казнён (1/6)
B помилован, стражник говорит: B помилован (1/6)
B помилован, стражник говорит: C будет казнён (1/6)
C помилован, стражник говорит: B будет казнён (1/6)
C помилован, стражник говорит: C помилован (1/6)
Все исходы имеют равную вероятность — 1/6. Итак: стражник в этой ситуации все равно выбирает из 6 случаев, и он всё ещё не может раскрыть карты и сказать, кто же помилован. Таким образом, в 1/6 случаев, а именно в случае 3, стражник не может сказать, что B помилован, поэтому он скажет C (что в общем-то будет правдой, ведь если помилован B, заключенные A и C будут казнены). Также и в случае 6, когда помилован C, но стражник, не имеющий права этого говорить, назовёт одного из тех, кто будет казнен — он назовёт заключённому А имя заключённого B. Это делает вероятность случаев 4 и 5 до 1/3, что приводит нас к изначальным результатам.
В чём парадокс?
Люди думают, что вероятность 1/2, потому что они игнорируют суть вопроса, который заключённый A задаёт стражнику. Если бы стражник мог ответить на вопрос «Будет ли заключенный B казнен?», тогда в случае положительного ответа вероятность казни А действительно бы уменьшалась с 2/3 до 1/2.
То ограничение, которое есть в оригинальной задаче трёх узников, делает вопрос заключённого A бесполезным, ведь с вероятностью 100 % будут казнены два заключённых. То есть, даже если А помилован, ему назовут любое имя; если A приговорён к казни, то, значит, с ним вместе будет казнён ещё один заключённый, его имя и назовут заключённому А.
Получается, заключённый А своим вопросом просто узнаёт тот факт, что один из заключённых B и С будет казнён, что и так ясно из условий задачи.
------------
Парадокс двух конвертов: вам дают два одинаковых конверта и говорят, что один из них содержит в два раза больше денег, чем другой. Вы должны открыть один из них, проверить содержимое, а затем, не открывая другой, решить, какой из конвертов взять.
------------
Парадокс Абилина: бывает, что люди принимают решения, основанные не на том, что они сами хотят, но на том, что они думают, что другие хотят. В результате получается, что каждый делает что-то, что никому на самом деле не нужно.
(Это, на мой взгляд, не парадокс. Это очень жизненно!)
------------
Апория Зенона «Ахиллес и черепаха»: быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса, так как пока он переместится в точку, где была черепаха, она успеет продвинуться хоть немного вперёд.
[700x505]
------------
Проблема курицы и яйца: что было раньше — курица или яйцо? С одной стороны, для появления курицы необходимо яйцо, с другой — для появления яйца нужна курица.
(Это не парадокс, кстати, это спор атеиста и верующего. Он решается с точки зрения Божественного миросотворения очень просто: сперва была создана курица, которая потом начала нести яйца).
------------
Из экономических парадоксов самый простой:
Парадокс Гиффена: если цены на хлеб начнут повышаться, люди станут покупать его больше.
Помимо приведённых мной парадоксов, есть множество других: математических, химических, физических и пр. Жизнь - вообще парадоксальное явление, если как следует вдуматься.
И несколько картинок, на злобу дня:
