Раз моряки погожим днем пустились по морю втроем,
но не в тазу - была у них, бутылка Клейна, на троих.
Три моряка в бутылку сели , в ней не страшны ни шторм, ни мели.
Но оказалось им на горе и судно в море, и в судне море.
Фредерик Уинзор
Мечта средневекового алхимика - это мистический совершенный герметичный сосуд, где внешнее переходит во внутреннее и внутреннее во внешнее, который содержит сам себя и переходит сам в себя, у которого внутреннее и внешнее пародоксально едино ...
Всё это чем-то напоминает змею, свернувшуюся в кольцо и заглатывающую свой собственный хвост ...
О чем же мы?
Оазывается существует такой пародоксальный объект, как "бутылка Клейна", и поражает он своей необычностью всех!
Впервые упоминание о нем появилось в 1882 году, а автором был немецкий математик Феликс Клейн, создатель нового направления в геометрии.
25 апреля 1849 года родился немецкий математик Феликс Клейн. Веками слово "геометрия" употреблялась в единственном числе. Но вот появилась геометрия Лобачевского, затем геометрия Римана, и наконец, математики поняли, что существует много различных геометрий. Возник естественный вопрос: что же такое геометрия? В 1872 году Клейн высказал свою точку зрения в лекции, прочитанной им в связи со вступлением в профессорскую должность в Эрлангене. Так появилась "Эрлангенская программа". Она привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давала новое представление о предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований. Но это все ужжжасно скучная математика и мы быстро перейдем к более интересному предмету, связанному с именем Клейна - бутылке Клейна.
Два математика в саду
Справляли день рожденья.
Один принес с собой еду,
Другой – бутылку Клейна.
Один спросил: "Как пить вино
Когда бутыль двумерна?
Ведь верхом тут зовется дно,
И стенок нет, наверно?"
Другой ответил: "Не робей,
И выпей- ка в охотку!
Сказал мне Мебиус, что в ней
Вино покрепче водки."
Послушал друга наш бедняк,
Поднес к губам посуду...
Куда он вдруг пропал и как,
Рассказывать не буду.
Автор: Виктор Лебедев
С точки зрения математики "бутылка Клейна" - это замкнутая (т.е. без края) односторонняя поверхность.
А с точки зрения физики?
Как представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" в реальности?
Оказывается, невозможно построить абсолютно правильную модель этого объекта в нашем трехмерном мире: здесь будет наблюдаться пересечение поверхности, что напрочь отсутствует в четырехмерном измерении.
Вывод: истинная "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении!
А приблизительно?
Допустим у нас есть бутылка с очень длинным горлом, в стенке и в донышке бутылки есть небольшие отверстия, соответствующие размеру горлышка. Берем бутылку за горло, изгибаем его, пропускаем вплотную через боковое отверстие, дотягиваемся горлышком до отверстия в дне бутылки и совмещаем их. Вот и получилось!
Где - начало, где - конец? - сказать невозможно ...
У такой бутылки нет края, и ее поверхности нельзя разделить на внешнюю (наружную) и внутреннюю!
Помните картинку с изображением ленты Мебиуса и ползущих по ней муравьев?
Путешествие того же муравья по поверхности бутылки Клейна тоже превратится в бесконечность! Ему не придется переходить с внешней стороны бутылки на внутреннюю - она единственная! И это будет справедливо и для теоретической, и для стеклянной "бутылки Клейна".
Если рассечь бутылку вдоль вертикальной оси симметрии, то мы получим две ленты Мебиуса.
Но, интересно, что с помощью одного замкнутого разреза бутылку Клейна можно превратить даже всего лишь в один лист Мебиуса!
А здесь наглядная 3D-модель бутылки Клейна:
Вот пространственные преобразования этого объекта:
Аналог "бутылки Клейна" для трехмерного измерения можно изготовить в реальности. На прилавках сувенирных магазинов встречаются , например, стеклянные бутылки Клейна разных размеров, изготовленные умельцами-стеклодувами.
Есть сувенирные бутылки Клейна в виде графина для вина, только вот пользоваться ими достаточно трудно. Их трудно наполнять, т.к. жидкость создает дополнительное давление на воздух внутри, а ему некуда деваться ... С выливанием жидкости тоже много проблем. Но"плюс" - это то, что жидкость в бутылке Клейна не испаряется. Однако, стенки изнутри практически невозможно очистить ...
Так что, хотите - пользуйтесь, хотите - ставьте на витрину!
[200x258]
Этот удивительный предмет все чаще привлекает внимние архитекторов:
такое здание есть во Франкфурте на Майне;
а этот дом так и называется "Бутылка Клейна"
P.S. для тех, кто вяжет:
Рукодельницы вяжут шапочки "а ля бутылка Клейн". По конструкции они не отличаются от приведенных выше стеклянных моделей! Попробуем? Отличный комплект получится из такой шапочки и шарфа в виде ленты Мёбиуса. Для тех чей путь лежит в иные миры и пространства - вещи незаменимые! Удачи!
Сообщение подготовлено с использованием материалов: