Сегодня сам задался этим вопросом, немного порылся в коде портала. Вывод: выдрать прямую ссылку на понравившуюся песню на сайте Mail.Ru в принципе несложно, но слижком уж заморочисто, если вдруг захочется скачать музыку с чужого мира на майл ру.

Итак более удобное и адекватное решение:

Скачать программу Download Manager

Скачиваем программку по ссылке выше. 
Далее качаем руссификатор:

Скачать руссификатор для Download Manager

 Сначала устанавливаем саму программу, затем идем в папку C:Program FilesInternet Download ManagerLanguages" и распаковываем в нее файл из архива руссификатора. Перезапускаем компьютер и заходим на сайт Mail.Ru в раздел музыка. Жмем play напротив любой песни которая отображается в списке, и вуа-ля, появляется ссылка "скачать", после нажатия на которую начнется загрузка музыки с сайта Mail.Ru в папку "Мои документы""Downloads"audio...

 Удачного серфинга в сети.

Взято здесь .

P.S. Попробовал, все работает.