В 1952 году поступил в школу-студию МХАТ. В 1956 – 59 годах работал в
театре имени Маяковского. Сыграл Гамлета в спектакле Николая Охлопкова.

В 1959 году перешел в театр "Современник", в котором служил до 1970
года. Сыграл яркие роли в спектаклях Олега Ефремова "Голый король",
"Сирано де Бержерак", "Всегда в продаже", "Декабристы". Играл в
спектаклях Галины Волчек.

В 1971 году Михаил Козаков перешел в МХАТ, а в 1972-86 годах работал в
Театре на Малой Бронной. В этом театре Михаил Козаков поставил
спектакли по пьесам Леонида Зорина "Покровские ворота" и Юджина О`Нила
"Душа поэта".

В 1991 году вместе с семьей репатриировался в Израиль. Работал в Тель-Авивском камерном театре. В 1996 году вернулся в Россию.

Впервые снялся в кино в 1956 году – в фильме Михаила Ромма "Убийство
на улице Данте". Снялся во многих фильмах, среди которых
"Человек-амфибия", "Соломенная шляпка", "Хождение по мукам",
"Здравствуйте, я ваша тетя", "Безымянная звезда", "Покровские ворота".

В 1978 году дебютировал как кинорежиссер – комедия "Безымянная
звезда". По его сценариям поставлены фильмы "Визит дамы" (1989), "Тень,
или Может быть, все обойдется" (1991), "Ужин в четыре руки" (1999).

В 1980 году Михаил Козаков был удостоен звания народного артиста РСФСР. В 2010 году он получил орден Почета.