Возьмём какое-нибудь натуральное число, скажем, 17. Сумма его цифр равна 8. Если 17 умножить на 2, получим 34 и сумма цифр этого числа окажется равной 7. А у произведения 17*3=51 сумма цифр равна 6. Вопрос: на какое натуральное число нужно умножить 17, чтобы сумма цифр произведения была наименьшей?

Понятно, что сумма цифр, равная 1 будет только у степеней десятки, которые кратны лишь произведениям степеней двойки и пятёрки. Поэтому попробуем найти кратное 17-ти число вида 100…01 с суммой цифр, равной двум.

17*X=100…01

Чтобы последней цифрой произведения была единица, последней цифрой неизвестного множителя должна быть тройка. Далее, т.к. 17*3=51, а предпоследняя цифра произведения равна 0, то предпоследней цифрой неизвестного множителя должна быть пятёрка.

17*53=901

Третьей с конца цифрой множителя снова должна быть тройка (чтобы произведение оканчивалось на ..001)

17*353=6001.

Далее находим, последовательно:

17*2353=40001

17*82353=1400001

17*882353=15000001

17*5882353=100000001 (!)

Итак, среди чисел, кратных 17-ти наименьшая сумма цифр, равная 2, будет у числа 100000001=17*5882353.

Возникает второй вопрос: а что было бы, если бы потребовалось найти кратное с минимальной суммой цифр для какого-нибудь другого числа? Почти сразу приходят на ум числа 3 и 9, кратные которых, вследствие соответствующих признаков делимости, не могут иметь суммы цифр, меньшие, чем 3 или 9, соответственно. Но оказывается, что и многие другие числа не имеют кратных вида 100…01.

К примеру, попробуем провести операции, аналогичные проведённым с числом 17, для числа 41.

Если существует такой множитель Х, что 41*Х=100…01, то последняя цифра числа Х равна 1.

41*1=41.

Далее, предпоследняя цифра числа Х должна быть равна 6

41*61=2501

Далее получаем, последовательно:

41*561=23001

41*7561=310001

41*97561=4000001

И тут мы обнаруживаем, что зациклились: далее неизвестный множитель будет продолжать обрастать цифрами 6, 5, 7 и 9, а сумма цифр кратного, равная 2, достигнута не будет.

Итак, какова же минимальная сумма цифр у числа, кратного 41-му?

Чтобы найти ответ, разберёмся сначала с таким понятием, как признак делимости. А именно: почему для ответа на вопрос, делится ли число m на число n, достаточно не выполнять деление, а провести некоторые операции с цифрами числа m?