Односторонние поверхности : Лист Мебиуса и Бутылка Клейна

Мы так часто слышим слово – Бесконечность, а не хотелось ли вам когда ни будь подержать эту самую бесконечность в своих руках ?
Для того что бы сделать это вам придётся взять в руки бумагу, ножницы и клей.
Отрежьте полоску бумаги и склейте её как показано на рисунке.

[215x60]
[222x149]

У Вас получилась такая односторонняя поверхность :



Что значит односторонняя ? Это значит, что муравей (или житель Плоскатии , о котором мы говорили в предыдущей статье) побывает на обеих сторонах этого листа не переходя через край.
Это значит, что вы можете не отрывая карандаша от бумаги, и не переходя через край закрасить эту фигуру с обеих сторон.

[304x250]
Если вам кажется что ничего особенного в этом нет, тогда попробуйте решить следующую головоломку :
Это древняя головоломка о трёх колодцах и трёх домах.
В ряд стоят 3 дома, напротив каждого из них есть по колодцу. Нужно от каждого дома сделать тропинки к каждому из колодцев так, что бы никакие 2 тропинки не пересекались.

Ниже вы можете сделать это в динамике, только колодцы тут заменены: Газом, Водой и Электричеством. Нужно к каждому из домов провести и газ и воду и электричество, и что бы ни какие 2 трубы ( электрические кабеля) не пересекались.
Ну как ? Не получается ?
Не так давно была доказана неразрешимость этой задачи при помощи формулы Эйлера.
Но задача эта не разрешима на ПЛОСКОСТИ!, НА БУМАГЕ.
Разве мы с вами живем на бумаге ?
Нас со школы учили оперировать понятиями «Эвклидовой геометрией»,
а по простому - нас со школы учили мыслить «Плоско».
Что же касается этой головоломки, то она имеет решение, только не в придуманном, а в реальном мире. В этом нам поможет Лист Мебиуса.
Соедините соответствующие буквы, и получите ответ на головоломку.

[200x470]
Разумеется, это только начало. Лист Мебиуса таит в себе ещё много неожиданностей.

Фокус №1
Сделайте ещё один Лист Мебиуса, повёрнутый на пол оборота (180 градусов).
А теперь попробуйте его разрезать посредине.

[335x116]

Я Вам не скажу что получится так как :
а) Если Вы уже держите в руках Лист Мебиуса и ножницы, то лишить Вас удовольствия наблюдать за тем, что произойдёт после разрезания – это просто преступление.
б) Если Вы и не думали брать в руки ножницы – тогда сказанный мною результат вас не удивит.

Ну как получилось ?
Обратите внимание! На сколько оборотов закручен полученный экземпляр?

Фокус №2

Закрутите Лист на 2 полуоборота(360 градусов) , и разрежьте его посередине.
Что получается?

Фокус №3

Изготовьте Лист Мебиуса, который закручен на пол оборота (180 градусов), и начинайте его разрезать отступая все время одну треть от края.

Что получается на этот раз?

Фокус№4
Теперь изготовьте Лист Мебиуса, который закручен на 3 полуоборота (540 градусов), и разрежьте его пополам.

У вас должен получиться Лист Мебиуса, который закручен узлом.
Вроде этого, но сложнее:


Фокус №5

Интересные вещи так же получатся, если сложить бумагу гармошкой, затем скрутить из неё Лист Мёбиуса и резать пополам, или отступая одну треть.

Первым делом сделайте гармошку, которая состоит из одного перегиба, образуйте лист Мебиуса поворотом на 360 градусов, и разрежьте посредине.

Перед вами предстанут 3 сцепленных между собой кольца.
[600x290]

Вы делаете новые и новые Листы, а ведь не каждую полоску можно скрутить в Лист Мебиуса. Например, из квадратного листа бумаги Лист Мебиуса не получится.
Тогда какое должно быть минимально отношение длины к ширине полоски, что бы из неё можно было склеить Лист Мебиуса?
Примем для ясности ширину полоски за 1.
Оказывается, что минимальная длина полоски равняется v3,
это приблизительно 1,73.
Полученное значение равно второму «Золотому сечению», о котором вы можете прочитать ЗДЕСЬ

Если вы любитель «Пресной математики» , то посмотреть на доказательство того, почему именно 1,73 вы можете ЗДЕСЬ ( на этом сайте представлено доказательство из журнала «Квант» 1978 выпуск 1 )

Возникает логичный вопрос :
Существуют ли ещё подобные объекты?
Да, существуют, и ещё более замысловатые. Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект»
( он получен из плоской полоски ), то его подружка Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения. Вот как она выглядит:

[300x150]


[480x250]

Запустите суда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край. Посмотреть на это в динамике можно ЗДЕСЬ ( опускайтесь в конец странички, а затем нажимайте на видеокамеру и стрелку вперед.)

На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, хотя это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться после того как он куда то дошёл ? Бесконечность, она на то и бесконечность!

А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Ведь Лист Мёбиуса мы резали вдоль и поперёк.

Что же будет если разрезать Бутылку Клейна?

[240x300] [240x300]

Это невероятно, но получился Лист Мебиуса.
Резать, правда, нужно было так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.
Если вам хочется собственными руками разрезать бутылку Клейна, то ЗДЕСЬ можете посмотреть, как её сложить из бумаги

А теперь внимание :

Сейчас я Вам покажу то, что я придумал в этой области. Бутылка Клейна в трёх измерениях - это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях.
Выше Вы видели «Многослойный» Лист Мебиуса - полученный склеиванием бумаги сложенной «гармошкой».

А существуют ли «Многослойные» Бутылки Клейна ? Как оказалось – существуют. Назовём их – Бутылки Макса, так как их придумал я
(Максим Крыжановский).

Вот – обычная Бутылка Клейна :

[600x354]

А теперь мысленно представьте себе, как внутри этой бутылки начинает формироваться новая Бутылка Клейна. Сначала внутри образуется «Бутылка Клейна» без «трубки» - бутылка с двумя отверстиями , затем образуется трубка, которая проникает в «трубку» иcходной «Бутылки Клейна», проходит всю «трубку», проникает через отверстие в только что сформировавшуюся «Бутылку Клейна». Затем трубка проникает во второе отверстие основной «Бутылки Клейна ». Находясь в задней части основной бутылки , «трубка» начинает медленно обволакивать исходную «Бутылку Клейна» превращаясь при этом в третью , самую большую «Бутылку Клейна ».
Процесс доходит до «трубки» - изначальной «Бутылки Клейна» , и постепенно обволакивает её, затем эта «трубка» проникает только что сформировавшуюся «Бутылку Клейна», затем в исходную, затем в самую маленькую. Проникнув в самую маленькую «Бутылку Клейна », «трубка» доходит до отверстия и сливается с ним.

Получилось что самая маленькая «Бутылка Клейна » перешла в самую большую, и стала с ней одним целым.

Вот рисунок того, что вы пытались вообразить :
Назовём это – «Трёхслойная Бутылка Макса»

[600x364]
( Рисовал – не я. Человек не хотел афишировать своё имя, но в случае деловых предложений - пишите мне, и я Вас познакомлю.)

По приведённому выше алгоритму из «Трёхслойной» можно сделать «Пятислойную» Бутылку Макса, из «Пятислойной» - «Семислойную», и т д .
Вы можете получать (2*n-1) – слойную «Бутылку Макса»

Посмотрите ещё раз на «Трёхслойную» Бутылку Макса.
Если из неё «выкинуть» - «исходную» (среднюю «Бутылку Клейна») –
то получится «Двухслойная Бутылка Макса».
ВОТ ОНА :

[600x364]

Тут всё намного прощё – Вы видите 2 «Бутылки Клейна», где каждая из них проникает друг в друга. Конец одной - является началом второй, или наоборот.

Совершенно понятно, что по алгоритму – описанному для «Трехслойной Бутылки Макса», из «Двухслойной» можно сделать «Четырёхслойную»
( подобно тому как из обычной «Бутылки Клейна» была получена «Трёхслойная Бутылка Макса» ). Из «Четырёхслойной» - «Шестислойную», и т.д .
Так вы можете получить 2*n – слойную «Бутылку Макса»
Теперь картина замкнулась , и у вас в руках может оказаться «Бутылка Макса» которая имеет любое количество слоёв.

Тот, кто дочитал до этого места - будет приятно удивлён.
Разрезав «Бутылку Клейна» вы получите Лист Мебиуса.

Разумеется мне захотелось разрезать и свои «Бутылки».
Так вот : если разрезать «Двухслойную Бутылку Макса», то получится один «Лист Мебиуса» закрученный на 2 оборота(720 градусов).

Если разрезать «Трехслойную Бутылку Макса», то получится два «Листа Мебиуса» : один большой - закрученный на 2 оборота(720 градусов), и один маленький закрученный на 1 оборот(360 градусов).
Это можно продолжать дальше, и получится полная аналогия с «многослойными Листами Мебиуса» - полученные из листа бумаги сложенного гармошкой.

После того как я придумал эти «Бутылки» меня начал мучить вопрос :
«Ну и что ? Зачем они вообще нужны ? Где это можно применить ?»

И сейчас я пришёл к выводу что подобные «непонятные вещи» могут быть наглядной схемой для более «непонятных вещёй», которые интересуют всех.

Наглядной схемой для процесса самопознания может служить «Бутылка Клейна». Вы можете подержать в руках предмет, который переходит сам в себя.

Посмотрите на «Бутылку Клейна» или «Лист Мебиуса» ещё раз.
Где тут начало и где конец ? Тут нет ни начала ни конца.
Тогда что было раньше : курица или яйцо ?
Глядя на эти объекты вполне можно допустить ответ : «Ни то и ни другое!»

Теперь посмотрите на мои «Бутылки Макса» - сколько у них может быть слоёв ? – да сколько угодно. Если запустить муравья на любой из этих слоёв, то он и понятия не будет иметь о существовании всех остальных слоёв, так как они не связаны ( запустите его например в трёхслойную «Бутылку Макса» на средний слой, он никогда не сможет перебраться ни на один из соседних слоёв – если представить что сила тяжести тянет его к среднему слою )

А теперь вопрос : сколько может существовать измерений ? Сколько угодно! Под измерениями можно понимать и пространство вариантов нашего мира

Представьте себе, что однажды какой - то человек создал такой механизм : Бутылка Клейна, из дырчатого материала превращается сначала в «Трёхслойную Бутылку Макса » путём встраивания большой и маленькой «Бутылки Клейна», затем в «Семислойную», и так до бесконечности, процесс – никогда не прекращается. Запустите теперь туда муравья и пусть он попробует отыскать край своего «бескрайнего» света.
Сколько бы он не пытался он его не отыщет, по той простой причине
– что его просто НЕТ!!!
Вам это не напоминает попытки людей покорить «Бескрайний Космос»,
а так же Микромир ? Как вы думаете, решат ли ученые эту проблему когда появятся более мощные телескопы, и более мощные микроскопы ?

Не обязательно понимать этот мир, нужно лишь найти себя в нем –
Альберт Эйнштейн

Считаете это детскими забавами ?
Безусловно, так оно и есть. :)

Наша статья подходит к концу, но в заключение я хочу вам дать
информацию к размышлению:

Если Лист Мёбиуса – это двумерная Бутылка Клейна,
Бутылка Клейна – это трёхмерная Бутылка Клейна, то,
как выглядит «Бутылка Клейна» в четырёхмерном пространстве?
Возможно, разрезав её, мы получим знакомую нам Бутылку Клейна?

Посмотрите на Ленту Мебиуса для начала. Она перекручивается по плоскости, но сшивается по линии, то есть размерность шва уменьшается на единицу. Точно так же Бутылка Клейна. перекручивается в пространстве, но сшивается по поверхности.
В случае же четвертого измерения нужно увидеть и представить объемный шов, который представить невозможно.

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
- Козьма Прутков

Если вы поймёте эту фразу, вы всё равно не сможете себе представить четырёхмерное тело, но вы сможете понять причину, по которой вы этого не можете представить.

И всё же, так ли уж нужно ломать голову над тем, как устроен этот мир ?
Или всё что нам нужно уже есть, и нам остается лишь выбрать «правильный» вариант ? Выбор как всегда за вами.
Он у Вас есть даже в том – делать этот выбор или нет