Проблема Гольдбаха —
это одна из самых старых до сих пор не разрешённых проблем математики. При этом она очень просто формулируется:
- Любое чётное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Например,
- 4 = 2 + 2
- 6 = 3 + 3
- 8 = 3 + 5
- 10 = 3 + 7 = 5 + 5
- 12 = 5 + 7
- 14 = 3 + 11 = 7 + 7
- 16 = 3 + 13 = 5 + 11
- 18 = 5 + 13 = 7 + 11
- 20 = 3 + 17 = 7 + 13
-
[править] История
В 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:
- Каждое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу:
- Каждое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Первое утверждение называется слабой проблемой Гольдбаха, второе — сильной проблемой Гольдбаха (или проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера).
Из справедливости утверждения сильной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость слабой проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число > 4 есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа > 7.
[править] Слабая проблема Гольдбаха
Слабая проблема Гольдбаха формулируется так:
- Каждое нечётное число больше 7 можно представить в виде суммы трёх нечётных простых.
Эквивалентная формулировка:
- Каждое нечётное число больше 5 можно представить в виде суммы трёх простых.
(Каждое простое число может встречаться больше одного раза).
Утверждение этой проблемы пока не доказано, хотя проведено много полезных попыток. В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана, проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.
В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, т. е. доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент К. Бороздин доказал, что оно не превышает
[показать]. Это число содержит 6 миллионов цифр, что делает невозможным прямую проверку всех меньших чисел. В дальнейшем этот результат многократно улучшали, пока в 1989 году Ванг и Чен не опустили нижнюю грань до [показать], что тем не менее по-прежнему вне пределов явной проверки меньших чисел.В 1997 году Deshouillers, Effinger, Te Riele (?) и Зиновьев показали, что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость слабой проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел превышающих 1020, справедливость утверждения для меньших чисел легко проверить на компьютере.
[править] Сильная проблема Гольдбаха
Сильная проблема Гольдбаха формулируется так:
- Любое чётное число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Сильная проблема Гольдбаха далека от решения.
Виноградов в 1937 и Теодор Эстерманн в 1938 г. показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю). Этот результат немного усилен в 1975 Хьюгом Монтгомери (Hugh Montgomery) и Робертом Чарльзом Воганом (Robert Charles Vaughan). Они показали, что существуют положительные константы c и C, такие что количество чётных чисел, не больших N, непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает CN1 − c.
В 1939, Шнирельман доказал, что любое чётное число представимо в виде суммы не более 300 000 простых чисел. Этот результат многократно улучшался. В 1995 Ремер (Ramaré) доказал, что любое чётное число — сумма не более 6 простых чисел.
В 1966 Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например,
[показать].На март 2004 года, сильная гипотеза Гольдбаха проверена для всех чётных чисел, не превышающих
[показать][источник?].[править] Литература
- А. Доксиадис, «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха», Пер. с англ. М. Левина. - М.: АСТ, 2002.
- С.Петров, «Абсолютное программирование. Рекурсия» - пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.
eto ya tak chto by imet" vvidu chto za zolotoj Bach