Недавно собрался и написал обзорную статью по тому, чем занимался в течение 7 лет. Вопросы применимости текущих экономических моделей, фрактальных представлений и методов прогностического мат. моделирования в условиях псевдохаоса. Статья не углубляется в детали, просто проводится линия от результата к результату, показывающая участок пройденного пути и позволяющая не отклоняться на тупиковые исследования.



Теория эффективного рынка
В настоящий момент главенствующей теорией для описания экономических рынков является «теория эффективного рынка». Тезисно она состоит из следующих предположений:
- Изменение стоимости актива происходит под воздействием поступающих новостей. Новости поступают (образуются) случайным образом, соответственно изменения случайны.
- Все новости становятся одновременно доступны всем участникам рынка, и мгновенно ими оцениваются.
- Все участники рынка исходят из одинаковых стремлений к получению максимально возможной прибыли.
Следствием этих тезисов является, то, что рыночная цена в любой момент времени точно описывает текущую «объективную» стоимость актива, если такая может существовать. Дальнейшие колебания стоимости равновероятны как вверх, так и вниз. «Обыграть» рынок, состоящий из сотен тысяч эффективных трейдеров, невозможно без обладания инсайдерской информацией. Любой прогноз невозможен, поскольку движения рынка описывается как случайный процесс, мгновенно отрабатывающий поступающие новости на основе «коллективного» решения участников рынка.
Соответственно у случайных процессов нет «памяти», т.е. предыдущая история никоим образом не должна влиять на будущие изменения стоимости актива. Соответственно никакие предсказания на основании анализа исторических данных невозможны.
Столь строгие ограничения, накладываемые теорией, породили во мне желание проверить, так ли уж безнадежно обстоит дело, насколько точно теория описывает реальную действительность и есть ли возможность описать и использовать эти (пока гипотетические) отклонения реальности от теории в практических целях.
За то, что такие отклонения могут иметь место, говорит само наличие биржевой игры, хотя это и можно отнести на счет человеческой любви к риску и азартным играм. Но трейдеры уверены в определенных типах поведения рынка, таких так устойчивое движение в одну сторону «тренд» и перелом тенденции «коррекция». Но эти «уверенности» не доказательны, поскольку не описаны и не формализованы.
Другим фактором, выступающим против теории, является то, что распределение колебаний рынка не описывается точно гауссовским распределением, как было бы, если бы колебания были случайны. Для рыночных колебаний характерно бОльшее число значительных изменений рынка, т.е. более толстые концы распределения, чем было бы при чисто случайном распределении. Эти работы проведены Б.Мандельбротом, который проанализировал огромное количество исторических данных и ввел понятия фракталов, фрактальной геометрии и фрактальных распределений для описания этих феноменов. К сожалению, его работы ввели понятийный аппарат, который фактически открыл новую область математики, позволил показать опасность применения стандартной теории вероятностей для оценки рисков в экономике, но в область прогноза не продвинулись нисколько.
В то же время масса примеров выступает и за непредсказуемость рынков. Известный пример - анализ прогнозов аналитиков ведущих банков за 10 лет по направлению движения валют дал 50% оправдываемости. С таким же успехом можно было бы кидать монету.
Средняя успешность рыночных фондов, задачей которых является успешная игра на рынке «с целью получения максимально возможной прибыли», не превышает индекса соответствующего сегмента рынка. Т.е. аналогично игра в «орел-решка».
На основании этих и многочисленных других фактов возникло желание «отделить зерна от плевел», т.е. выделить и описать статистически устойчивые возможности прогноза на экономических рынках, если они существуют.

Принятые ограничения
Для исследования был выбраны основные валютные пары рынка Форекс. Представляется, что применяемые методики подходят и для любых других активов, единственным условием является значительное для статистических целей число участников рынка и число сделок в интересующий временной интервал.
Для анализа использовались часовые исторические данные по валютным парам с 1998 года. Текущие данные получались с Чикагской электронной валютной биржи Currenex. Кроме данных курса никакой другой информации о рынке не использовалось.

Обезразмеривание по времени
Нас интересуют события, происходящие на всех временнЫх интервалах, от самых коротких, до самых длинных. В этой связи в качестве меры протяженности имеет смысл взять логарифм от времени. Используемая мера протяженности Х откалибрована таким образом, что Х=1 соответствует событию протяженностью в 10 минут, Х=100 – событию в 2511886 минут или чуть меньше 5-ти лет.
Такой промежуток включает в себя все наиболее интересные события на рынке, за пределами этого интервала появляются уже специфические для экономических рынков ограничения реализации.

Обезразмеривание по амплитуде
Поскольку нас интересуют события, происходящие на фоне случайных колебаний курсов, то обезразмеривание имеет смысл провести так, чтобы привести случайные колебания к амплитуде, близкой к единице для любой продолжительности события.
Теория эффективного рынка имеет прямую аналогию броуновского движения в физике. Аналогично крупная частица испытывает случайные толчки от атомов жидкости или газа и совершает случайное блуждание. В этой аналогии – смещение частицы есть изменение курса, а удары атомов – поступающие информационные события, влияющие на курс. Эйнштейн в ранних работах исследовал броуновское движение и показал, что смещение частицы относительно начального положения пропорционально корню из времени. Это свойство случайного блуждания примем за основу для обезразмеривания в соответствии с теорией эффективного рынка.
Для события любой продолжительности обезразмеривание по амплитуде будет состоять из константы и корня из времени, т.е. продолжительности. Константа выбирается таким образом, чтобы среднее случайное смещение для любого промежутка времени составляло единицу. Образно это можно представить так, что если мы отслеживаем некоторое событие на рынке на протяжении некоторого времени, то масштаб с течением времени уменьшается так, что при случайных блужданиях обезразмеренное смещение курса с большой вероятностью будет находиться в пределах плюс-минус единицы.
В физическом представлении это означало бы втягивание пространства внутрь единичного шара таким образом, что случайно блуждающая частица не могла бы существенно отдалиться от него.
Такое обезразмеривание позволяет рассматривать и сравнивать между собой события любых протяженностей (в нашем случае от 10 минут до 5 лет) одинаково, поскольку они будут одинаковы по амплитуде. Кроме того, легко отличать случайные события, поскольку они оказываются вписанными в единичную сферу от событий, не вписывающихся в стандартную теорию вероятностей. Значение отклонения курса равное 1-це соответствует событию с вероятностью 1-но сигма, 2-ке – 2-м сигма, 3-ке трем сигма и т.д. Соответственно, начиная с 3-х сигма можно считать, что случилось редкое или особо редкое событие, но его еще можно объяснить исходя из теории случайных блужданий, но начиная с 5-ти сигма можно считать, что происходящий феномен не описывается теорией эффективного рынка и, соответственно, представляет для нас интерес.

Радиальные координаты
После проведенного обезразмеривания все движения валютных пар происходят в одинаковых пределах вне зависимости от длительности временнОго интервала. Если событие выходит за рамки основной массы других событий, то его можно считать «неслучайным». Однако «неслучайными» могут быть и внутри обычных значений, т.е. не отличающиеся особым размахом или скоростью.
Нас интересуют те «неслучайные» события, которые обладают повторяемостью и, соответственно, могут использоваться в прогностических целях. Такими событиями могут быть события, следующие определенной форме. В общем случае поиск такой устойчивой формы можно осуществить представив ее в виде разложения Тейлора и искать закономерности в виде следования «случайных» колебаний рынка определенной кривой, описываемой степенным рядом некоторой длины. Такие эксперименты были проведены до десятой степени Тейлоровского ряда, но выяснилось, что наибольшее соответствие наблюдается для первой степени. Это в известной мере отражает факт, что рынку не свойственны плавные дуги, а скорее линейное движение, называемое трендами.
Примечание: Для описания сложных движений рынка было бы лучше применить не «гладкое» разложение Тейлора, а разложение по ломанным функциям (ломанная «гармошка» с n звеньями). В некотором смысле это соответствует генератору фракталов Мандельброта.
Полученное разложение первой степени соответствует радиальным координатам, т.е. в качестве базовых используются длина события (х) и угол наклона (f). В качестве дополнительного параметра, характеризующего «качество» соответствия «случайного» движения тренду, вводится относительная ширина канала (сигма).

Обнаружение тренда
В качестве критерия возникновения «неслучайного» тренда используется ширина канала (сигма). Маловероятно чтобы случайное блуждание двигалось внутри прямолинейного канала, не выходя за его границы. Степень «неслучайности» в этом случае определяется относительной шириной канала. Это утверждение использовалось для определения потенциальных «неслучайных» событий или трендов, поскольку рассматривалось линейное разложение.
Таким образом, отслеживаются 2 типа «неслучайностей»:
- слишком быстрый выход курса за пределы случайности;
- движение курса вдоль узкого прямолинейного канала.
На практике эти типы оказываются связанными – движение вдоль канала означает линейное по времени удаление от центра, в то время как случайное блуждание удаляется пропорционально корню. Таким образом линейное движение всегда переходит в выход за пределы, однако рассмотрение обоих типов позволяет с одной стороны раньше обнаружить образование тренда, с другой – быть больше убежденным в его неслучайности.

Отслеживание возникших трендов
Отслеживания события на временнОм диапазоне от 10 минут до 5-ти лет можно сказать, что обычно число обнаруженных трендов колеблется от 3 до 12 для каждой валютной пары на каждый момент времени. Ни разу практически не встречалась ситуация, чтобы их не было вообще. Для дальнейшей работы необходим анализ этих трендов, чтобы понять их потенциальную устойчивость и возможность использования в прогностических целях с момента обнаружения.
Поскольку анализ рыночной ситуации проводится раз в час, то необходимо проводить соответствие между текущим часом и прошлым часом, чтобы определить вновь родившиеся тренды, умершие тренды и продолжающиеся тренды. На практике это решается установлением достаточно узких ворот по всем параметрам тренда – длине (х), углу наклона (f), ширине канала (сигма). Специфической проблемной является «дребезжание», т.е. из-за рыночного шума в момент слабого определения тренда (при рождении или смерти) он может исчезать и появляться вновь, что приводит к множественным паразитным коротким трендам, которые, по сути, являются одним и тем же, но не могут быть правильно связаны из-за пробелов в определении. Эту проблему удалось решить за счет процедуры «подлипания» при определении, т.е. в пределах уже обнаруженного тренда рамки определения делаются несколько мягче, чтобы шум не сбивал поиск.

Реестр обнаруженных трендов
Основной базой для дальнейшего анализа является реестр обнаруженных трендов. В реестре записаны основные характеристики тренда – время обнаружения, продолжительность его существования его обнаружения, временнАя протяженность обнаруженного тренда, его угол наклона и относительная ширина канала.
Для разных валютных пар число обнаруженных трендов за период 1998 год – 2010 год составляло от 50 тыс. до 200 тыс. штук, для всех исследуемых валютных пар их число было существенно больше миллиона, что делало вполне корректным их статистическое исследование.


Если кому-то интересно дальше, то пишите в личку, вышлю полный текст статьи.