21 Декабрь 2011, 0:03

[279x208]Приближается Новый год. 2012 год по восточному календарю — год дракона. В связи с этим моя давняя хорошая подруга и однокурсница преложила написать об этом фрактале — кривой дракона.

Кривая дракона — это кривая без самопересечений, которая определяется рекурсивно. Описать эту кривую можно, задавая поворот налево цифрой [показать], а поворот направо — цифрой [показать]. Важно, что все повороты совершаются на один и тот же угол! Таким образом, задавая значение [показать] или [показать] на каждом шаге, мы можем задать кривую.

Порядком кривой дракона называется количество звеньев получающейся ломаной. Кривая первого порядка определяется просто как [показать]. Для кривых более высоких порядков справа приписываем [показать], а затем еще дополняем цифрами, которые стоят левее этой единицы справа налево, записывая их слева направо, но только заменяем нули на единицы, а единицы на нули.

Для того чтобы все стало совсем понятным, давайте посмотрим, как запишутся кривые дракона второго и третьего порядков. Кривая второго порядка: берем [показать], приписываем справа [показать]: [показать], а теперь справа добавляем единицу, замененную на нуль, получаем [показать]. Кривая третьего порядка: берем [показать], приписываем справа единицу: [показать], а теперь добавляем число, которое стоит слева от последней единицы (это [показать]), записанное в обратном порядке ( [показать]), заменяя нули на единицы и обратно, т.е. число [показать], получаем [показать]. Попробуйте сами получить выражение для кривой четвертого порядка (подсказка: у Вас должно получиться [показать]).

Если мы будем поворачивать все время на угол [показать], то получится вот такая кривая:

[452x201]

Однако самый известный, наверное, дракон — дракон Хартера – Хейуэя — получается, если угол поворота взять равным [показать]. Вот так он выглядит:

[232x346]

Получается такой дракон последовательными итерациями:

[700x83]
(здесь приведены кривые первых пяти порядков и кривая девятого порядка).

Этот дракон является также предельным множеством для следующей системы итеративных функций на комплексной плоскости:

[показать]

Кривую дракона можно складывать из полоски бумаги. Проблема только в том, что кривая высокого порядка таким образом не получится. В самом деле, при восьмом складывании получается уже [показать] слоев, поэтому вряд ли удастся сложить полоску больше семи раз. Тем не менее, попробуйте это сделать, довольно интересно наблюдать, как кривая дракона создается своими собственными руками!

Ну и еще один интересный факт. Поставив двух драконов Хейуэя спина к спине (один повернут относительно другого на [показать] и они плотно, без пробелов примыкают друг к другу), получим двойного дракона:

[220x165]

Да и вообще замостить плоскость драконами можно разными способами. Например, такими:

И пусть в наступающем году повезет тем, кто храбр и смел, кто готов бороться и побеждать!

Источники:

http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

http://fractalworld.xaoc.ru/Dragon_curve

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1970/02/krivye_drakona.htm