Введение
Данный курс имеет две цели.
Первая цель - помочь школьникам подготовится к ЕГЭ и ГИА по наиболее сложным разделам школьной математики – стереометрии и решении уравнений и неравенств с параметрами. Помочь подробной иллюстрацией решений в максимально наглядной форме. Другое средство помощи - показать высокоэффективные приемы применения векторов при решении таких задач. Что касается графики – вопрос бесспорный, для применения векторов необходимы веские аргументы.
Даны задачи, которые с помощью векторов решается практически мгновенно, а задачи на кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве становятся элементарными. Тем самым большой поток задач – источник затруднений – несётся мимо. Ради этого можно пойти на освоение понятия векторного произведения векторов. Кроме того, это понятие имеет фундаментальное значение во всей науке, а главное, будет достигнуто существенное облегчение изучения стереометрии и сэкономлено время на решение указанных задач.
Несколько сложнее мотивация развития методов решения уравнений и неравенств с параметрами. Этот раздел по существу сложен, но чрезвычайно актуален - решение задач с параметрами выводит школьную математику на теорию катастроф, чего нет в настоящее время даже в вузовских обязательных программах. Здесь изучается такие явления, при которых решения могут исчезать и появляться одиночно или сериями. Содержательное изложение таких задач средняя школа должна вводить.
Это лишь один аргумент. Приведу ещё один: олимпиады, ЕГЭ и ГИА всегда содержат задачи с параметрами, которые, как правило, составляют их наиболее сложную часть. Необходимо научить школьников решать их!
Вторая цель – дать основу для ведения в школе исследовательской работы по математике. Излагаемые в пособии методы открывают в школьных условиях возможность приступить к исследовательской деятельности в части:
анализа решений больших систем уравнений, возникающих в задачах управления сложными системами: энергетическими, биологическими, экономическими, социальными и т.д.
космической навигации и для управления взаимным движением космических кораблей в пространстве;
астрофизическими процессами движения космических систем, галактик и их столкновений;
при разработке компьютерных игр, в которых описание вращений сражающихся воинов требует виртуозного владения векторами;
в развитии и обобщении действительных чисел: комплексных чисел, кватернионов и октав.
Все перечисленные направления невозможно даже упрощенно рассказать, если учащийся не владеет векторными методами.
Они будут раскрыты в последующих статьях.
Часть 1. Решение задач по стереометрии векторными методами.
Состоит из четырех уроков.
Первый - вводный в нем излагаются основные положения векторной алгебры и дается примеры их эффективного применения.
Второй и третий уроки содержат решение задач по стереометрии из сборника ЕГЭ 2011.
Задачи рассматриваются разными методами и сопоставляются по трудоемкости и характеру ошибок, которые допускаются при их решении.
Даются комментарии и рекомендации.
Четвертый урок содержит задачи повышенной трудности (из олимпиад МГУ, МЭИ и др. вузов).
Часть 2. Решение уравнений и неравенств с параметрами.
Состоит из трех уроков.
Первый урок – пять задач для решения уравнений с параметрами, представленных в виде анимированных презентаций. Опубликованы в Интернете на блогах
http://vladis-vend.com и
http://www.liveinternet.ru/users/4091922/.
Второй урок. Решение систем уравнений с двумя параметрами.
Третий урок - введение в теорию катастроф и системы уравнений с параметрами.
Часть 3. Исследовательские задачи по математике в школе.
Описание движения тел в пространстве как сумма параллельного переноса тела и вращение тела вокруг заданной оси на угол б. Ось вращения задается единичным направляющим вектором (c1 c2 c3). Вводится вектор Гиббса:
G = tg(б/2) ( c1 c2 c3).
Вектор Н*, полученный из вектора Н при повороте его вокруг данной оси на угол б, определяется формулой:
Н* = cos2 (б/2){(1 - |G|^2 )Н + 2(G,XН) G + 2[GXH] }
Достаточно владеть понятиями скалярного и векторного произведений векторов, чтобы работать с движением тел в пространстве: и параллельными переносами, и всевозможными вращениями. Такие задачи рассматриваются в третьей части.
Краткие сведения из векторной алгебры
Предполагается, что выбрана ортогональная система координат в пространстве (x,у,z).
Векторы в пространстве V = (A1 B1 C1), W= ( A2 B2 C2) задаются их компонентами (проекциями на оси координат).
Рассматриваются следующие операции с векторами.
Умножение вектора V на число х есть вектор : хV = (хА хВ хС)
Сложение векторов есть вектор, : V + W = ( A1+A2 B1+B2 C1+C2)
Если точка М(x1 , y1, z1) начало вектора, а точка Q(x2, y2, z2) – конец вектора, то его проекции на оси координат равны разности координат конца и начала.
Читать далее...