Что такое геометрия Финслера и почему ее нужно понимать физикам
В. Г. Жотиков zhotikov@yandex.ru
Московский физико-технический институт
Лекция для преподавателей физики ВУЗОВ России 12.10.2012
План лекции
Общие соображения и мотивации
Геометрическая интерпретация принципа наименьшего действия
Геометрическая интерпретация принципа калибровочной инвариантности
Об устойчивости физических структур
Заключение
Общие соображения и мотивации
В последнее время в физической литературе наметился серьезный интерес к идеям и методам геометрии Финслера и их приложениям к проблемам современной физики от квантовой гравитации и физики микромира до астрофизики и космологии. Это представляется не случайным. Мы видим в этом начало осознания необходимости перехода к новой парадигме физики. Здесь, несомненно, напрашивается известная аналогия с введением в физику геометрии Римана. Последняя была сформулирована в 1864 году Р. Риманом (1826 – 1866) , тогда, как оказалась востребованной в физической науке почти через полвека, в связи с созданием общей теории относительности (А. Эйнштейн и М. Грассман (1916)). Общие соображения и мотивации Сам создатель теории относительности хорошо понимал, что созданное им не есть истина в последней инстанции и не может быть справедливым для масштабов микромира. Он писал: «Защищаемое здесь истолкование Геометрии нельзя непосредственно применять к субмолекулярным (меньшим чем молекулы) пространствам... может оказаться, что такое экстраполирование столь же неправильно, как и распространение понятия температуры на частицы тела молекулярных размеров»
1 . 1Эйнштейн А. Геометрия и опыт. (1921) Собрание научных трудов. М.: Наука, Т. 2. C. 83.
Общие соображения и мотивации
Почему геометрия Финслера? Геометрия Финслера имеет дело с неточечными объектами. Риманова геометрия есть частный случай финслеровой геометрии. В геометрии Финслера Принцип относительности (ПО) выполняется автоматически.
1. Общий принцип относительности =⇒(ОТО): «Все законы природы независимы от выбора (совершенно произвольного) систем отсчета».
2. Специальный принцип относительности =⇒ (СТО) «Все физические процессы в инерциальных системах отсчета (ИСО) протекают одинаково» + 2-й постулат (постоянство скорости света). В финслеровой геометрии 2-й постулат СТО становится избыточным. Общие соображения и мотивации
О применении идей и методов геометрии Финслера в современной физике 1.Д. И. Блохинцев Геометрия и физика микромира. УФН, Том 110 (вып. 4), 1973. С. 481
. «Можно полагать, что и в случае микромира метрика пространства-времени может быть продиктована полем элементарных частиц». 2. Д. А. Киржниц, В. А. Чечин Космические лучи сверхвысоких энергий и возможное обобщение релятивистской теории. ЯФ, Том 15 (вып. 7), 1972. С. 1051.
«Расхождение между теорией и экспериментом наметившееся в физике космических лучей может быть отнесено за счет нарушения релятивистской динамики в области больших энергий и скоростей».
О многообразии геометрии
Начнем с терминологии. Уже в девятнадцатом столетии математики пришли к мысли о том, что существует не одна, а много геометрий. В общеупотребительном в настоящее время смысле, геометрия есть теория пространства, а пространство есть система объектов, называемых обычно «точками», вместе с системой соотношений, которыми эти точки связаны, причем, эта система соотношений до некоторой степени аналогична тем, или иным соотношениям между элементами физического пространства. Пространство, следовательно, есть не просто абстрактное множество объектов, но и множество объектов с определенной системой свойств и отношений. О многообразии геометрии Например, структура так называемого метрического пространства определяется некоторой функцией 4(P, Q), аргумент которой есть пара «точек», и значения которой — некоторые числа. 4(P, Q) называется
Читать далее...