Представлена статистика участия стран мира в олимпиаде.
В фотоальбом олимпиады добавлен фотоотчёт со Всеукраинского семинара координаторов в г.Яремче.
Две шашки-рыцари стоят на противоположных краях прямоугольной доски 2х33 доски. Между ними 31 клетка. Начальная скорость каждого рыцаря – единица.
Каждым своим ходом рыцарь может или продвинуться в сторону соперника на количество клеток, равное своей текущей скорости, или пришпорить лошадь, увеличив скорость на 1, начав двигаться на единицу быстрее.
Максимальная скорость рыцарей равна шести. Ходы делаются по очереди. Выигрывает тот, кто своим ходом приблизился к противнику вплотную, или прошёл ещё дальше.
У первого игрока существует выигрышная стратегия. Попробуйте её найти, сыграв в компьютерную версию этой игры.
Скачать игру “Рыцарский турнир” 1.0
Начинать подготовку к олимпиаде стоит в сентябре, а то и раньше. Как часто слышишь после математических олимпиад разных уровней от участников, не уделивших должного внимания подготовке: «Ну всё, прихожу домой и к олимпиаде следующего года начинаю готовиться серьёзно!». К сожалению, зачастую это лишь красивые слова.
Но готовиться к олимпиаде – не значит целыми днями сидеть, обложившись книгами, и зубрить решения всех задач, которые появлялись ранее. Нужно просто держать себя в форме: быть в курсе основных типов задач, методов их решения и время от времени проверять себя. Впрочем, то, что вы читаете эти советы уже говорит о том, что математика вам интересна и вы следите за новостями из её мира.
Так что вам, во-первых, стоит просмотреть задачи прошлых лет. На нашем сайте периодически выкладываются пакеты задач Кенгуру 3-го, самого высокого уровня различных тематик. Кроме того, повторите материал, наиболее часто встречающийся в заданиях своей возрастной группы. Это, прежде всего – логика, а также:
- Уровень «Выпускник»: комбинаторика, геометрия, функции и графики
- Уровень «Юниор»: теория чисел, геометрия, уравнения с параметрами
- Уровень «Кадет»: числовые последовательности, решение уравнений в целых числах, площади фигур
- Уровень «Школьник»: текстовые задачи, часы и календарь, числовые ребусы
- Уровень «Малыш»: дроби, текстовые задачи, задачи по графическому материалу
В день перед олимпиадой стоит отдохнуть, почитать развлекательную книжку, погулять на свежем воздухе. Пусть накопленные знания улягутся в голове, чтобы назавтра прийти вам на помощь в нужную минуту. И, конечно же, перед олимпиадой нужно как следует выспаться.
На олимпиаде ведите себя спокойно. Помните, что все задачи конкурса проходили отбор жюри, и нерешаемых среди них нет. Внимательно читайте условия, убедитесь, что вы не упустили или не додумали самостоятельно какие-то его факты. Не торопитесь закрашивать ответы в бланке – выпишите их сначала на черновике. Часто можно воспользоваться тем, что олимпиада проводится в форме теста: для некоторых задач решение можно найти перебором пяти вариантов. Не торопитесь сдавать решение до истечения 75-ти минут, лучше ещё раз его проверьте.
После олимпиады возьмите свой листок с условиями и задайте эти задачи родственникам и одноклассникам, не принимавшим в ней участие.
Результаты олимпиады, как правило, объявляются на последнем звонке.
Успехов вам!
Возьмём какое-нибудь натуральное число, скажем, 17. Сумма его цифр равна 8. Если 17 умножить на 2, получим 34 и сумма цифр этого числа окажется равной 7. А у произведения 17*3=51 сумма цифр равна 6. Вопрос: на какое натуральное число нужно умножить 17, чтобы сумма цифр произведения была наименьшей?
Понятно, что сумма цифр, равная 1 будет только у степеней десятки, которые кратны лишь произведениям степеней двойки и пятёрки. Поэтому попробуем найти кратное 17-ти число вида 100…01 с суммой цифр, равной двум.
17*X=100…01
Чтобы последней цифрой произведения была единица, последней цифрой неизвестного множителя должна быть тройка. Далее, т.к. 17*3=51, а предпоследняя цифра произведения равна 0, то предпоследней цифрой неизвестного множителя должна быть пятёрка.
17*53=901
Третьей с конца цифрой множителя снова должна быть тройка (чтобы произведение оканчивалось на ..001)
17*353=6001.
Далее находим, последовательно:
17*2353=40001
17*82353=1400001
17*882353=15000001
17*5882353=100000001 (!)
Итак, среди чисел, кратных 17-ти наименьшая сумма цифр, равная 2, будет у числа 100000001=17*5882353.
Возникает второй вопрос: а что было бы, если бы потребовалось найти кратное с минимальной суммой цифр для какого-нибудь другого числа? Почти сразу приходят на ум числа 3 и 9, кратные которых, вследствие соответствующих признаков делимости, не могут иметь суммы цифр, меньшие, чем 3 или 9, соответственно. Но оказывается, что и многие другие числа не имеют кратных вида 100…01.
К примеру, попробуем провести операции, аналогичные проведённым с числом 17, для числа 41.
Если существует такой множитель Х, что 41*Х=100…01, то последняя цифра числа Х равна 1.
41*1=41.
Далее, предпоследняя цифра числа Х должна быть равна 6
41*61=2501
Далее получаем, последовательно:
41*561=23001
41*7561=310001
41*97561=4000001
И тут мы обнаруживаем, что зациклились: далее неизвестный множитель будет продолжать обрастать цифрами 6, 5, 7 и 9, а сумма цифр кратного, равная 2, достигнута не будет.
Итак, какова же минимальная сумма цифр у числа, кратного 41-му?
Чтобы найти ответ, разберёмся сначала с таким понятием, как признак делимости. А именно: почему для ответа на вопрос, делится ли число m на число n, достаточно не выполнять деление, а провести некоторые операции с цифрами числа m?
Задача
Трава на лугу растёт равномерно. Известно, что 30 коров съедают всю траву за 60 дней, а 70 коров – за 24 дня. Сколько коров съедят всю траву на лугу за 96 дней?
Решение
Это одна из красивых арифметических задач, которые хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений.
Итак, известно, что:
30 коров за 60 дней съедят всё поле и ту траву, которая на нём вырастет за 60 дней
70 коров за 24 дня съедят всё поле и ту траву, которая на нём вырастет за 24 дня.
Следовательно:
Всей травы на поле и той, что вырастет на нём за 60 дней, одной корове хватит на 30*60=1800 дней.
Всей травы на поле и той, что вырастет на нём за 24 дня, хватит одной корове на 70*24=1680 дней.
Отсюда, травы, которая вырастет на поле за 60-24=36 дней, хватит одной корове на 1800-1680=120 дней.
Значит всей травы на поле и той, что вырастет на нём за 60+36=96 дней, хватит одной корове на 1800+120=1920 дней
А то, что одна корова съест за 1920 дней, за 96 дней съедят 1920/96=20 коров.
Ответ
За 96 дней всё поле съедят 20 коров.
База задач на сайте пополнилась условиями III (областного) этапа Всеукраинской олимпиады по математике за 2009 год. В качестве примера приводим несколько заданий для различных классов. Испытайте свои силы и получайте удовольствие!
1. В супермаркете введены скидки. За покупку товаров на сумму от 300 гривен, покупатель получает скидку 4%, а при покупке товаров на сумму от 600 гривен, он получает скидку 10%. На какую наибольшую сумму (с точностью до копейки) может приобрести товаров покупатель, если у него в кармане
а) 594 гривен;
б) 534 гривны?
2. Шахматная доска размером 7x7 покрашена в шахматном порядке (все угловые клетки черные). По шахматной доске ходит фишка, которая может ходить с клетки на соседнюю по стороне клетку. Если фишка попадает на некоторую клетку, то эта клетка меняет свой цвет на противоположный. Вначале фишка стоит в левом нижнем углу. Можно ли с помощью перемещения этой фишки перекрасить все клетки доски в черный цвет?
3. Найти наибольшее трехзначное число, которое удовлетворяет такие три условия:
1) само число простое;
2) число, которое записано теми же самыми цифрами в обратном порядке также простое;
3) произведение цифр числа также является простым числом.
4. Все числа от 1 до 2009 возвели в квадрат, после этого полученные числа в произвольном порядке записали в виде одного числа. Может ли полученное число быть квадратом целого числа?
5. Найти наименьшее натуральное число, у которого произведение цифр равно 5120.
6. На бумаге в клеточку выделен квадрат 2009x2009. Два игрока по очереди закрашивают в желтый цвет единичные отрезки, которые являются границами единичных квадратов, которые расположены внутри или на границе выделенного квадрата и еще не были закрашены. Побеждает тот игрок, после хода которого, впервые одна единичная клетка станет иметь покрашенные в желтый цвет сразу все 4 стороны. Кто побеждает в этой игре при правильной игре обоих – тот, кто начинает или тот, кто ходит вторым?
7. Назовем заполнение квадрата 2009x2009, разбитого на единичные квадратики, „правильным”, если он заполнен числами 1, 2, 3, ..., 2009 так, что в каждой строке и в каждом столбике есть каждое из этих чисел. Рассмотрим расстояние от центральной клетки до ближайшей клетки с числом 1 (под расстоянием понимается наименьшее число ходов, которые нужны шахматному королю, чтобы добраться до клетки). Какое наибольшее значение может принимать это расстояние?
Все условия III этапа всеукраинской олимпиады по математике на сайте:
11 класс
10 класс
9 класс
8 класс
7 класс
Традиционно в заданиях математических олимпиад некоторым образом фигурирует год её проведения. Так что в скором времени следует ожидать задач, затрагивающих число 2009. Вот список некоторых свойств этого числа:
• Число 2009 раскладывается на простые множители следующим образом:
[показать]• Следовательно, число 2009 можно представить в виде разности квадратов целых чисел тремя способами:
[показать]• А в виде суммы квадратов число представляется единственным образом:
[показать] • Чтобы получить число 2009 в виде суммы кубов, потребуется минимум 4 слагаемых, и сделать это можно тремя способами:
[показать] • Как сумму треугольных чисел (имеющих вид
[показать]) число 2009 можно представить 11-ю способами: [показать] • А в виде разности треугольных чисел число 2009 можно представить 6-ю способами:
[показать]• 2009-е треугольное число равно 2 019 045
• Число 2009 входит в Пифагоровы тройки взаимно-простых чисел: (2009; 2018040; 2018041), (2009; 41160;41209), (360;2009;2041)
• Число 9002, образованное из 2009 обратной записью, также делится на 7:
[показать]• Число 2009 делится на сумму всех своих делителей, меньших корня из него: 1+7+41=49 и 2009 делится на 49
• 2009-е простое число равно 17471, это палиндром, оно одинаково читается как справа налево, так и слева направо
• Простыми также являются числа
[показать], [показать], [показать], [показать], [показать], [показать]• Рассмотрим процесс: берём натуральное число и прибавляем к нему сумму его цифр. Число 2009 в нём можно получить из самопорождённого (по Капрекару) числа 1693 за 19 шагов: 1693 - 1712 = 1693+(1+6+9+3) - 1723 = 1712+(1+7+1+2) - 1736 - 1753 - 1769 - 1792 - 1811 - 1822 - 1835 - 1852 - 1868 - 1891 - 1910 - 1921 - 1934 - 1951 - 1967 - 1990 - 2009.
• В другом процессе, рассмотренном индийским математиком Капрекаром, будем из числа, образованного цифрами четырёхзначного числа, записанными в порядке убывания, вычитать число, образованное теми же цифрами, но в порядке возрастания. К числу 6174, постоянной Капрекара, мы придём за 3 шага: К(2009) = 9200-0029=9171; К(9171) = 9711-1179=8532; К(8532) = 8532-2358=6174. К(6174) = 7641-1467=6174.
• В числе
[показать] ровно 5765 цифр. Оно заканчивается пятьюстами нулями. • Пожалуй, наиболее экзотический факт: оказывается, существует ровно 2009 5-мерных гексамино.
• Cуществует ровно 2009 Гамильтоновых графов с 8-ю вершинами. (В Гамильтоновых графах между каждыми двумя вершинами существует путь, проходящий через все остальные вершины ровно один раз)
Другие материалы для подготовки к математическим олимпиадам
Осмотрюсь пока, а там может что напишу по математике или цивилизации