Чтобы было удобнее общаться с читателями сайта Приглашение в мир математики и реагировать на ваши пожелания и вопросы, были созданы 3 тематических блога:
Математическая задача недели, Math-zn.BlogSpot.com – здесь раз в неделю появляется пакет олимпиадных задач. Решения можно присылать в скрываемые комментарии или по электронной почте. Вы сами можете участвовать в формировании пакетов задач, присылая интересные условия.
Задачи на эту неделю:
1) В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Найти стороны треугольника если они выражены тремя последовательными чётными числами.
2) Найти три последовательных натуральных числа, если известно что сумма цифр числа, образованного сложением кубов этих чисел, равна 27
3) Существует ли число, записанное только цифрами 3, которое делится на 93?
Задачи 1 и 2 прислал Семён Знаковян (*ALEX ALKIN*)
Математическая олимпиада Кенгуру 2010, Kenguru2010.BlogSpot.com – для обсуждения материалов раздела сайта, посвящённого олимпиаде Кенгуру. Также будут публиковаться фотоотчёты о проведении конкурса, результаты олимпиады, и, по прошествии установленного оргкомитетом срока, задачи 2010 года и их решения.
Независимое внешнее тестирование 2010, ZNO2010.BlogSpot.com – вопросы подготовки к ЗНО 2010. Пишите в комментарии сложные задачи школьного курса, и их решение будет объясняться.
Условия задач математической олимпиады Кенгуру: целые числа, логика, геометрия
Задача 78. Студент, 3й уровень, 2001 год
Дядя Богдан наловил рыбы. Три самых больших рыбы он дал своей собаке, тем самым, уменьшив общий вес своего улова на 35%. Затем он дал три самых маленьких рыбы своему коту, уменьшив вес оставшейся рыбы на 5/13. Остальные рыбы семья съела на обед. Сколько рыб поймал дядя Богдан?
А:8; Б:9; В:10; Г:11; Д: 12;
Задача 79. Юниор, 3й уровень, 2000 год
В одной из подгрупп кубка чемпионов Европы участвовали 5 команд:, A, B, C, D, E. Пять спортивных изданий высказали свои прогнозы насчёт финалистов:
1)B, D;
2)C, E;
3)B, C;
4)A, B;
5)D, C.
Оказалось, что один из прогнозов был полностью верным, а в остальных указывалась лишь одна из команд-финалистов. Какие команды вышли в финал?
А: B, D; Б: C, E; В: B, C; Г: A, B; Д: D, C;
Задача 80. Кадет, 3й уровень, 1999 год
На плоскости даны 4 точки. Пять из шести расстояний между ними равны 7, 5, 5, 2 и 2. Тогда шестое расстояние может равняться:
А: 3; Б: 4; В: 7; Г: 10; Д: 12;
Задача 81. Школьник, 3й уровень, 2002 год
Чтобы очистить 4 своих аквариума, Ваня поселил в них улиток. Чтобы очистить один аквариум, нужны или 4 большие улитки, или 1 большая и 5 маленьких улиток, или 3 большие и 3 маленькие улитки. У Вани 15 больших улиток. Но в зоомагазине он может обменять одну большую улитку на 2 маленьких. Какое наименьшее количество больших улиток нужно обменять Ване, чтобы почистить все свои аквариумы?
А: 2; Б: 3; В: 4; Г: 5; Д: 6;
Задача 82. Малыш, 3й уровень, 2001 год
В футбольном матче победитель получает 3 очка, проигравший – 0, а ничья оценивается одним очком. После 31 матча моя любимая команда имела 64 очка, причём 7 матчей она сыграла вничью. Сколько раз проиграла моя любимая команда?
А: 0; Б: 5; В: 19; Г: 21; Д: 24;
Условия задач математической олимпиады Кенгуру: системы счисления, геометрия, арифметика
Задача 73. Студент, 3й уровень, 2004 г.
Сколько положительных целых чисел могут быть записаны как a0+a13+a232+a333+a434, если a0, a1, a2, a3, a4 принадлежат множеству {-1, 0, 1}
А:5; Б:80; В:81; Г:121; Д: 243;
Задача 74. Юниор, 3й уровень, 2001 г.
Сколькими способами можно полностью покрыть прямоугольник со сторонами 2x8 костяшками домино 1x2 без наложений?
А:16; Б:21; В:30; Г:32; Д:34;
Задача 75. Кадет, 3й уровень, 2003 г.
По результатам контрольной работы, в классе средний балл мальчиков оказался равен 8,6, девочек – 9,8, а средний балл всех учеников в классе – 9,4. Какую часть класса составляют мальчики?
А: 1/4; Б: 1/3; В: 1/2; Г: 2/3; Д: невозможно определить;
Задача 76. Школьник, 3й уровень, 2003 г.
Сколько точек пересечения точно не могут иметь 4 прямые?
А: 1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 5;
Задача 77. Малыш, 3й уровень, 2001 г.
Маленький Мук и королевский скороход соревновались в беге на дорожке длиной 30 км, которая проходила вокруг большого луга. По условиям состязания, выиграет тот, кто обгонит другого, пробежав на один круг больше. Скороход пробегает круг за 10 минут, а Маленький Мук – за 6 минут. Оба стартуют одновременно из одного и того же места. Через сколько минут Маленький Мук победит?
А: 5; Б: 10; В: 15; Г: 20; Д: 25;
Решения и ответы на задачи математической олимпиады Кенгуру
P.S. Тем временем решения задач открытой интернет-олимпиады по математике продолжают поступать. Появление решений задач и списка победителей на сайте назначено на вторник, 2 марта, так что ещё не поздно приянть участие! :)
Условия задач математической олимпиады Кенгуру: комбинаторика, делимость, геометрия
Задача 68. Студент, 3й уровень, 2006 год
Тест состоит из 10 вопросов, на каждый из которых нужно выбрать вариант ответа а) или б). Если на любые 5 вопросов ответить вариантом а), а на остальные пять – вариантом б), то обязательно как минимум 4 ответа окажутся верными. Сколько существуем вариантов расположения правильных ответов в тесте, которые обеспечивают такое его свойство?
А:2; Б:10; В:22; Г:252; Д: 5^5;
Задача 69. Юниор, 3й уровень, 2001 год
В коробке была 31 конфета. В первый день Кристина съела 3/4 от количества конфет, которые съел Петя в тот же день. На второй день Кристина съела 2/3 количества конфет, которые съел Петя в тот же день. После двух дней коробка осталась пустой. Сколько конфет из коробки съела Кристина?
А:9; Б:10; В:12; Г:13; Д:15;
Задача 70. Кадет, 3й уровень, 2005 год
Карл говорит правду в тот день, когда он не обманывает. Какое из следующих утверждений Карл не мог высказать в один день вместе с остальными?
А: Число моих друзей - простое;
Б: У меня столько же друзей среди мальчиков, сколько и среди девочек;
В: 288 делится на 12;
Г: Я всегда говорю правду;
Д: Три моих друга старше меня;
Задача 71. Школьник, 3й уровень, 1999 год
Какое наибольшее количество тупых углов могут образовать 6 лучей с общим началом?
А: 6; Б: 8; В: 9; Г: 12; Д: 15;
Задача 72. Малыш, 3й уровень, 2002 год
В каждом подъезде на каждом этаже 16-этажного дома есть по 4 квартиры. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира №165?
А: 3 подъезд 9 этаж; Б: 3 подъезд 10 этаж; В: 3 подъезд 12 этаж; Г: 2 подъезд 13 этаж; Д: 3 подъезд 7 этаж;
Решения и ответы задач математической олимпиады Кенгуру
P.S. У вас ещё остаётся неделя, чтобы решить задачи открытой интернет-олимпиады по математике :)
Результаты мониторинга уровня математических знаний учащихся 7-9 классов на основе распределения ответов в математической олимпиаде Кенгуру-2009
Среди заданий математической олимпиады Кенгуру 2009 года, семь были выбраны для поведения мониторинга уровня знаний учащихся 7, 8 и 9 классов, выступавших в уровне «Кадет».
Условия задач:
Задача 8. Три точки Q, S и R лежат на одной прямой. Точка P расположена так, что угол QPS равен 12o и PQ=PS=RS. Найдите угол QPR.
А:24o; Б:42o; В:48o; Г:54o; Д: 96o;
Задача 10. На листе написаны числа 2, 6, 8, 10 и некоторое пятое число. Известно, что если все эти числа чётные, то среди них есть хотя бы один полный квадрат. Тогда пятое число не может равняться:
А:3; Б:4; В:9; Г:12; Д: 2009;
Задача 16. У скольких натуральных чисел количества цифр в десятичной записи их квадрата и куба совпадают?
А:0; Б:3; В:4; Г:9; Д: бесконечно много;
Задача 18. В стране рыцарей и лжецов 25 человек встали в очередь один за другим. Каждый, кроме первого из очереди сказал, что человек, стоящий сразу перед ним, врёт. Первый же сказал, что все, стоящие за ним – врут. Сколько лжецов в колонне? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут)
А:0; Б:12; В:13; Г:24; Д: невозможно определить;
Задача 19. Дроби 1/5 и 1/3 отмечены на числовой оси. Где находится 1/4?
1/5__|__|__|__|__|__a__b__c__d__e__|__|__|__|__|__1/4
А:a; Б:b; В:c; Г:d; Д: e;
Задача 20. Велосипедист должен был прибыть в пункт назначения в 12:00. Если его скорость будет равняться 15 км/ч, то он прибудет в 11:00, а если его скорость будет равна 10 км/ч, то он прибудет в конечный пункт в 13:00. При какой скорости велосипедист прибудет в конечный пункт в назначенное время?
А:11 км/ч; Б:12 км/ч; В:12,5 км/ч; Г:13 км/ч; Д: 14 км/ч;
Задача 26. Во дворце между каждыми двумя залами и из каждого зала наружу есть не больше одной двери. Какое наименьшее возможное количество залов во дворце, если в нём всего 12 дверей?
А:4; Б:5; В:6; Г:7; Д: 8;
Решения задач и распределение ответов участников олимпиады Кенгуру-2009
P.S. Тем временем продолжается открытая интернет-олимпиада по математике: вы успеваете принять в ней участие.
Пакет задач математической олимпиады Кенгуру: принцип Дирихле, цифры, множества
Задача 63. Студент, 3й уровень, 2000 г.
Экипаж космического корабля, приземлившегося на Марсе заметил интересные особенности марсиан:
- Все они или красные, или зелёные, или синие;
- Рост каждого – 1 метр;
- У марсианина от 2 до 5 голов;
- На теле у них от 3 до 20 антенн.
Какое минимальное количество жителей должно быть в марсианском посёлке, чтобы среди них заведомо можно было выбрать команду из 11 одинаковых игроков для футбольного матча с космонавтами? (Все 11 марсиан должны быть одного цвета, иметь одинаковое количество голов и одинаковое количество антенн)
А:216; Б:2161; В:2160001; Г:230051; Д: другое;
Задача 64. Юниор, 3й уровень, 2001 г.
Пусть а=19971998+19981999+19992000+20002001. Чему равна последняя цифра числа а?
А:0; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;
Задача 65. Кадет, 3й уровень, 2004 г.
В июне во Львове число солнечных дней составило 25% о количества пасмурных, количество тёплых – 20% от количества холодных. Только три дня были солнечными и тёплыми. Сколько было пасмурных и холодных дней? (Всего в июне 30 дней)
А: 27; Б: 22; В: 19; Г: 17; Д: 7;
Задача 66. Школьник, 3й уровень, 2005 г.
У Полы и Билла вместе 18 гривен, у Билла и Джона – 12 гривен. У Джона и Марии – 10 гривен. Сколько гривен у Марии и Полы?
А: 16; Б: 20; В: 24; Г: 25; Д: 48;
Задача 67. Малыш, 3й уровень, 2002 г.
Рассмотрим число 12321232123212321…, состоящее из 2002 цифр. Тремя последними цифрами этого числа будут:
А: 123; Б: 232; В: 321; Г: 212; Д: 321;
Решения и ответы задач математической олимпиады Кенгуру
P.S. Пока до олимпиады Кенгуру остаётся время, приглашаем испытать себя в открытой интернет-олимпиаде по математике :)
Представляем первую открытую Интернет-олимпиаду проекта “Приглашение в мир математики” . Участие в ней – это хорошая возможность поддержать себя в форме перед оффлайновыми олимпиадами, испытать удовольствие от решения красивых задач и, получить повод для гордости, показывая друзьям своё имя в списке победителей.
Задание олимпиады состоит из семи задач, правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Присылайте решения по адресу: intelmath@narod.ru
Подведение итогов олимпиады состоится 2 марта 2010 года.
1.Игра со спичками
В двух коробках лежат спички.
Два игрока делают ходы по очереди. За один ход можно:
а) забрать одну спичку из первой коробки, или
б) забрать по одной спичке из обеих коробок, или
в) забрать две спички из второй коробки, или
г) переложить одну спичку из второй коробки в первую.
Выигрывает тот, кто оставляет обе коробки пустыми.
Кто (игрок, начинающий игру, или его соперник) выиграет, если игроки не делают ошибок и вначале в первой коробке 20 спичек, а во второй десять?
2.Пять квадратов
Число 2010 представляется в виде суммы пяти последовательных квадратов:
2010=182+192+202+212+222
Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов – число 55:
55=12+22+32+42+52.
Как по виду числа определить, представляется ли оно в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов или нет?
3.Увеличение числа
Если в натуральном числе, не делящемся на 10, перенести предпоследнюю цифру на первое место, оно увеличится в n>1 раз. Для каждого натурального n, для которого такое возможно, приведите пример искомого числа.
4.Простая дробь
Согласно справочнику Гугла, 1 фунт равен 0,45359237 килограмма. Найдите простую дробь с минимальными числителем и знаменателем, значение которой отличается от этой десятичной дроби менее, чем на 2*10-5
5.Камень, Ножницы, Бумага
В игре «камень-ножницы-бумага» есть три фигуры. Камень считается сильнее Ножниц, Ножницы – сильнее Бумаги, а Бумага – сильнее Камня.
При игре вдвоём оба игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из фигур и, если они различны, определяется победитель. Если же выброшенные фигуры одинаковы – следует ещё одно выбрасывание, и так до выявления победителя.
При игре втроём игроки одновременно выбрасывают одну из фигур, и:
Если все три фигуры различны или все они одинаковы, следует перебрасывание;
Если один игрок выбросил более сильную фигуру, а два других – одинаковую, более слабую, то этот игрок объявляется победителем;
Если один игрок выбросил более слабую фигуру, а два других – одинаковую, более сильную, то далее следует определение победителя из этих двоих.
Сколько в среднем нужно провести выбрасываний, чтобы определить победителя среди троих игроков?
6.Что дальше?
Продолжите последовательность:
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …
7.Самоописывающее равенство
Равенство 1+2=3 интересно тем, что первое его слагаемое равно общему количеству чётных цифр, использованных в равенстве, второе слагаемое равно общему количеству нечётных цифр в нём, а сумма равна общему количеству цифр в этом равенстве.
Составьте равенство
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=K, где
Слагаемое A равно общему количеству нулей в этом равенстве;
Слагаемое B равно общему количеству единиц в этом равенстве;
Слагаемое C равно общему количеству двоек
и т.д.
Слагаемое J равно общему количеству девяток, а
Сумма K равна общему количеству цифр в этом равенстве.
Удачи!!!
Утроение числа после перестановки цифр
Задача
Про некоторое число известно, что если переставить его последнюю цифру в начало, число увеличится втрое. Найдите наименьшее число с таким свойством.
Первая идея по решению: последняя цифра числа не должна быть меньше трёх (ведь затем она превратится в первую цифру утроенного числа). Допустим, она равна трём. Тогда число имеет вид х=*…*3, а утроенное число выглядит как3х=3*…*.
Но если первоначальное число оканчивается на тройку, то последняя цифра утроенного числа будет девяткой. 3х=3*…*9. Следовательно, первоначальное число оканчивается на 93: х=*…*93.
Умножив 93 на 3 и получив 279, узнаём две последние две цифры числа 3х=3*…*79. Теперь мы имеем три последние цифры числа х=*…*793. Это позволяет нам узнать последние три цифры утроенного числа: 3х=3*…*379, что, в свою очередь, да`т последние 4 цифры числа x=*…*3793.
Продолжать этот процесс мы должны будет до тех пор, пока между найденными кусками чисел x и 3x не установится требуемое соотношение. Однако когда количество вычисленных знаков перевалит за десяток-другой (к примеру: x = *…*82758620689655172413793 и 3x = 3*…*8275862068965517241379), начинаешь сомневаться. А есть ли вообще решение? Стоит ли продолжать? Вдруг в ход вычислений закралась ошибка? Может, последняя цифра была изначально взята неправильно? Существует ли более быстрый способ найти требуемое число или доказать, что его не существует?
И, действительно, более лёгкий способ решения этого математического ребуса есть!
Пакет задач олимпиады Кенгуру №10: целые числа, уравнения, логика
Задача 48. Студент, 3й уровень, 1997 г.
Сколько целых решений имеет уравнение
x(x+1)+(x+1)(x+2)+…+(x+9)(x+10)=1000x+1997?
А:0; Б:1; В:2; Г:6; Д: бесконечно много;
Задача 49. Юниор, 3й уровень, 1998 г.
Число X состоит из цифр 1, 2, 3, а число Y – из цифр 4, 5, 6. Мы знаем, что число X+Y чётное и что вторая цифра числа X равна двум. Какова последняя цифра числа X*Y?
А: нельзя однозначно установить; Б:2; В:6; Г:5; Д:4;
Задача 50. Кадет, 3й уровень, 1999 г.
В тесте было 30 вопросов. Каждый правильный ответ увеличивает количество набранных баллов на 7, а каждая ошибка или отсутствие ответа уменьшает количество баллов на 12. Саша, выполнив тест, набрал 77 баллов. Сколько ошибок он сделал?
А: от 0 до 4; Б: от 5 до 8; В: от 9 до 12; Г: о 13 до 16; Д: невозможно определить;
Задача 51. Школьник, 3й уровень, 2000 г.
Имеются 3 коробки и 3 предмета: монета, игрушечная черепаха и горошина. У каждой коробке есть только один предмет, причём:
- Зелёная коробка находится левее голубой;
- Монета находится левее горошины;
- Красная коробка стоит правее черепахи;
- Горошина правее красной коробки;
В какой коробке монета?
А: в красной; Б: в зелёной; В: в голубой; Г: невозможно определить однозначно; Д: условия задачи противоречивы;
Задача 52. Малыш, 3й уровень, 2001 г.
В обувном магазине для животных на 10 полках было по 12 пар обуви. Первыми покупателями были пять многоножек. Первые три из них купили по 30 пар, а две следующие – по 5 пар каждая. Сколько пар обуви осталось в магазине после визита этих покупателей?
А:10; Б:15; В:20; Г:25; Д:30;
Решения задач олимпиады по математике Кенгуру
Задание 26. Многочлены. Формулы сокращённого умножения.
Установите соответствие между заданными выражениями (1-4) и выражениями, которые им тождественно равны (А-Д)
- (2a+b)2
- (2a-b)(b+2a)
- (a-2b)2
- (a+2b)(2a-b)
А. 4a2-b2
Б. 4b2-2ab+a2
В. 2a2+3aY-2b2
Г. 4a2+4ab+b2
Д. 4b2-4ab+a2
Решение
Знание формул сокращённого умножения значительно ускорит решение этого задания.
Выражение 1 раскладывается по формуле квадрата суммы: (2a+b)2=4a2+4ab+b2.
Выражение 2 – это произведение разности и суммы двух чисел и является разностью их квадратов: (2a-b)(b+2a)=4a2-b2
Выражение 3 раскладывается как квадрат разности: (a-2b)2=4b2-4ab+a2. (Обратите внимание, что составители заданий специально решили нас запутать и написали слагаемые в правильном варианте в обратном порядке).
Выражение 4 – единственное из вариантов, которое нужно просто перемножить и привести подобные: (a+2b)(2a-b)=2a2+3aY-2b2 (Кстати, здесь правильный ответ можно получить и без полного перемножения. Достаточно определить, что коэффициент при a2 равен двум.)
Ответ: 1-Г, 2-А, 3-Д, 4-В
Задание 27. Преобразования графиков функций.
Установите соответствие между заданными геометрическими преобразованиями графика функции y=cosx (1-4) и функциями, полученными в результате преобразований (А-Д)
- График функции y=cosx параллельно перенесли вдоль оси Ox на две единицы влево
- График функции y=cosx параллельно перенесли вдоль оси Oy на две единицы вниз
- График функции y=cosx сжали к оси Ox в два раза
- График функции y=cosx сжали к оси Oy в два раза
А. y=cos(2x)
Б. y=0,5cosx
В. y=cos(x-2)
Г. y=cos(x+2)
Д. y=cosx-2
Подготовка к экзамену GRE по математике
Представляем наш новый проект: блог MathGRE.Blogspot.com для готовящихся к экзамену GRE по математике. Экзамен GRE (Graduate Record Examinations) является обязательным условием для поступления в аспирантуру в США. В блоге каждый день появляются математические и логические задачи различного уровня сложности, предлагаемые на экзамене.
Экзамен GRE и олимпиада по математике "Кенгуру" имеют много общего. Задачи представляют собой тестовые задания и их требуется решать быстро. В тест входят задания различного уровня сложности (хотя сложность не указывается прямо).
Хотя задания в целом, как правило, несложные, ограничения по времени заставляет искать для них кототкие (и поэтому красивые) решения. Отдельный интерес представляет решение логических задач, к примеру, на составление расписания, удовлетворяющего некоторым условиям.
Поскольку все задания и решения публикуются на английском языке, блог будет полезен и для желающих расширить свой словарный запас.
Обзоры математических ресурсов на сайте Приглашение в мир математики:
- Образовательный видеопортал UniverTV.ru: здесь можно посмотреть видеозаписи лекций, образовательные фильмы и анимационные ролики.
- Умные видео на SmartVideos.Ru: Общенаучный ресурс с интересными и познавательными видеороликами
- Математические библиотеки в Сети: Web-обзор интернет библиотек математической литературы. Вы узнаете, откуда можно скачать книги Гарднера, Перельмана, журналы Квант и "Библиотеку математического кружка". Приводятся ссылки на источники литературы как по элементарной, так и по высшей математике.
- Онлайн энциклопедия целочисленных последовательностей: Web-обзор полезного математического ресурса, предоставляющего неоценимую помощь в математических исследованиях. Описываюся правила работы с энциклопедией, приводятся несколько занимательных задач с решениями.
Как вспомнить забытую тригонометрическую формулу? Вывести!
На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.
А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.
Будем опираться на следующие формулы:
- Основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1
- Определение тангенса:
[показать] - Определение котангенса: [показать]
- Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
- Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-sinasinb
Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:
- Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb-cosasinb
- Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)-sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb
Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:
- Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
- Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-sinasina = cos2a-sin2a
Аналогично получаются и формулы других кратных углов:
- Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2a-sin2a)sina = 2sinacos2a+sinacos2a-sin3a = 3sinacos2a-sin3a = 3sina(1-sin2a)-sin3a = 3sina-4sin3a
- Косинус тройного угла:
Уважаемые читатели! Поздравляем Вас с Новым годом и желаем здоровья и творческих успехов и благополучия!
Уже скоро состоится олимпиада Кенгуру 2010. Чтобы показать на ней высокие результаты, рекомендуем прочитать советы по подготовке к олимпиаде по математике, ознакомиться с наиболее типичными ошибками, выявленными в ходе мониторинга в 2009 году, а также разобрать решения задач олимпиады Кенгуру прошлых лет.
Целью конкурса является популяризация математических идей и поддержка талантливых школьников, развитие их интеллектуальных способностей, активизация творческой деятельности учителей, выработка методических рекомендаций по совершенствованию учебных программ и учебников путем анализа статистических данных результатов конкурса.
1. Оргкомитет конкурса
Организация и проведение в Украине Международного математического конкурса "Кенгуру" возлагается на Центральный организационный комитет, который действует на базе Львовского физико-математического лицея при Львовском национальном университете имени Ивана Франко (директор лицея - Марьян Добосевич).
Адрес центрального оргкомитета:
ул. Караджича, 29, г. Львов,
79054
тел.-факс: (032) 2401700,
e-mail: kangaroo@lpml.com.ua.;
www.kangaroo.com.ua.
К полномочиям Центрального оргкомитета относится:
- решение вопросов по проведению конкурса, обработки бланков ответов участников, награждения победителей, обнародование результатов;
- информирование Международной ассоциации "Кенгуру без границ" и педагогов Украины о результатах конкурса;
- формирование пакета предложений в Международную Ассоциацию "Кенгуру без границ" для проведения конкурса "Кенгуру" в будущем году;
- делегирование части своих полномочий региональным координационным центрам при подписании соответствующего двустороннего соглашения;
- выработка методических рекомендаций по совершенствованию учебных программ и учебников, подготовка учебно-методических пособий.
2. Участие в конкурсе
В конкурсе могут принимать участие все желающие учащиеся 2 - 11 классов общеобразовательных учебных заведений всех форм собственности.
Конкурс в общеобразовательных учебных заведениях проводят координаторы конкурса или учителя этой школы.
Для участия в конкурсе ученик должен зарегистрироваться у координатора конкурса в своей школе или у регионального координатора в другом образовательном учреждении, где будет проводиться конкурс.
Координатор заполняет заявку на участие в конкурсе и направляет ее в адрес Центрального оргкомитета вместе с копией перевода благотворительного пожертвования не позднее 14 февраля 2010 года
Конкурс проводится в шести возрастных группах:
МАЛЫШ 2 - для учеников 2 классов;
МАЛЫШ 3-4 - для учеников 3 - 4 классов;
ШКОЛЬНИК - для учеников 5 - 6 классов;
КАДЕТ - для учеников 7 - 8 классов;
ЮНИОР - для учеников 9 - 10 классов;
ВЫПУСКНИК - для учеников 11 классов.
Рекомендуемый размер благотворительного взноса составляет 10 гривен от каждого участника и полностью используется для покрытия расходов на организацию и проведение конкурса. До 10% собранных пожертвований могут предназначаться для обеспечения организации и проведения конкурса в учебном заведении или объединении учебных заведений.
Примечание: В целях исполнения приказа Министерства образования и науки Украины от 24.05.2000 № 149 и согласно этим ПРАВИЛАМ всем заинтересованным в проведении конкурса лицам необходимо перечислять благотворительные пожертвования через отделения Сберегательного банка и других банков на расчетный счет благотворительного фонда "Лицей".
Львовское отделение Укрэксимбанка
Р / с 260010060560 МФО 325718
код 22360064 (с пометкой "Благотворительные пожертвования")
Получатель
Раздел, посвящённый подготовке к внешнему независимому тестированию 2010 года пополинился решениями примеров задач внешнего независимого тестирования 2010. Сейчас доступны решения 25 задач с выбором правильного ответа. Следите за обновлениями, этот список будет регулярно пополняться.
- Задания 1-4: Проценты. Векторы. Геометрическая прогрессия. Круг и окружность.
- Задания 5-8: Свойства неравенств. Действия с рациональными числами. Степень с рациональным показателем. Стереометрия. Пирамида.
- Задания 9-12: Математическая статистика. Степень с рациональным показателем. Стереометрия. Куб. Свойства логарифма.
- Задания 13-16: Показательные неравенства. Стереометрия. Объёмы. Конус. Функция. Периодичность. Вписанные углы.
- Задания 17-19: Теория вероятности. Признаки делимости. Тригонометрические уравнения.
- Задания 20-22: Стереометрия. Декартовы координаты в пространстве. Планиметрия. Параллелограмм. Свойства производной.
- Задания 23-25: Комбинаторика. Теорема косинусов. Стереометрия. Объёмы тел.
Скоро новый, 2010 год. Это значит, что с большой степенью вероятности, число 2010 будет фигурировать в условиях задач олимпиад по математике. Рассмотрим некоторые свойства этого числа и интересные факты, связанные с ним.
- Число 2010 раскладывается на простые множители следующим образом. 2010=2*3*5*67
- Всего у числа 2010 16 делителей. Это числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 67, 134, 201, 335, 402, 670, 1005 и 2010
- Число 2010 представляется в виде суммы двух простых чисел 84-мя способами. Например, 2010=7+2003=11+1999=13+1997=…=991+1019
- Представимо оно и в виде разности простых чисел, например: 2010=2017-7=2027-17=2029-19 и т.д.
- Ни в виде суммы, ни в виде разности двух квадратов число 2010 не представляется.
- Нельзя его получить и в виде суммы или разности двух кубов.
- Сумма всех натуральных чисел от 1 до 2010 равна 2021055. Её можно вычислить, умножив 2010 на следующее за ним число, 2011, и разделив произведение на 2.
- Если перемножить все натуральные числа от 1 до 2010, полученное произведение будет содержать 5769 цифр. Заканчивается факториал числа 2010 на 501 ноль.
- Луна удаляется от Земли со скоростью примерно 4 см в год. За 2010 лет расстояние до неё выросло на 80 метров 40 сантиметров.
- Если бы 2010 лет назад положили в банк сумму, эквивалентную 1 доллару всего под 1% годовых, сейчас на счету было бы 480 миллионов 440 тысяч 852 доллара 96 центов.
- Древние римляне записывали число 2010 так: ММХ
- Если начать с числа 2010 сиракузскую последовательность, будем получать числа 1005, 3016, 1508 и т.д. и придём к единице за 68 шагов.
- А в виде суммы трёх квадратов число 2010...
Два мудрых визиря
С олимпиадными задачами на движение, в которых почти ничего не дано, мы уже имели дело. В следующей задаче на терию чисел данные тоже придётся добывать по крупицам - но тем больше удовольствия принесёт результат!
Условие
У одного султана было два мудрых визиря. Захотел он проверить, насколько они сообразительны. Позвал он их обоих и сказал:
- Я загадал два числа от 2 до 100. Вы должны их мне назвать.
При этом султан сообщил первому визирю произведение этих чисел, а второму - их сумму.
Первый визирь подумал и говорит:
- Я не знаю что это за числа
На что второй ответил:
- Я был в этом уверен.
Тогда первый говорит:
- В таком случае, я знаю, что это за числа.
Второй:
- Тогда и я знаю, что это за числа.
Какие числа загадал султан? Определи их, читатель, и ты окажешься мудрее обоих мудрецов, ибо они узнали числа, зная их сумму или произведение, а ты же не знаешь об этих числах ничего!
Это ещё одна из задач математического фольклора, способных спровоцировать форумную войну, будучи загаданной в интернете. Поэтому постараемся разобрать её решение довольно подробно.
Из-за карантина у учеников Украины появилось лишних 3 недели на подготовку к математической олимпиаде. Советуем использовать это время с толком и потренироваться на задачах олимпиады Кенгуру 2009 года.
Задача 42. Выпускник, 3й уровень, 2009
Сколько существует 10-значных чисел, состоящих только из цифр 1, 2 и 3 таких, в которых соседние цифры отличаются на 1?
А: 16; Б: 32; В: 64; Г: 80; Д:100;
Задача 43. Юниор, 3й уровень, 2009
На выборах мера города Кенгуруполя было зарегистрировано 2 кандидата. После обработки n% бюллетеней для голосования избирательная комиссия сообщила жителям, что кандидат А набрал 62% голосов, а кандидат В – 38% голосов. При каком минимальном целом n эти предварительные результаты выборов гарантируют победу кандидату А, если недействительных бюллетеней не будет? Мер избирается простым большинством.
А: 55;Б:62; В: 81; Г: 87; Д: 93;
Задача 44. Кадет, 3й уровень, 2009
В уравнении K+A+N+G+A+R+O+O=56 разные быквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы – одинаковые цифры. Тогда значение суммы A+O равняется:
А: 18;Б:17; В: 16; Г: 15; Д: однозначно определить невозможно;
Задача 45 . Школьник, 3й уровень, 2009
Дано 4 утверждения о натуральном числе А:
А делится на 5, А делится на 11, А делится на 55, А меньше 10. Известно, что два из них правильные, а другие два – неправильные. Тогда А равняется:
А: 0;Б:5; В: 10; Г: 11; Д: 55;
Задача 46. Малыш – 3,4, 3й уровень, 2009
Маша коллекционирует фотографии известных спортсменов. Количество фотографий, которые она собирает за каждый год равно количеству фото, собранных за два предыдущих года. В 2008 году она собрала 60 фотографий, а в этом – 69. Сколько фотографий собрала Маша в 2006 году?
А: 20;Б: 24; В: 36; Г: 40; Д: 48;
Задача 47. Малыш – 2, 3й уровень, 2009
Серёжа подбрасывал игральный кубик четыре раза и каждый раз записывал полученное число очков. Сложив эти числа, он получил 21 очко. Какое наибольшее количество раз могла выпадать тройка?
А: 0;Б: 1; В: 2; Г: 3; Д: 4;
Решения задач олимпиады Кенгуру 2009
Фоматы и тематика заданий тестирования
В независимом тестировании 2010 года будет 36 заданий трёх уровней. Это в полном смысле слова тестирование, поскольку задания, требующие развёрнутого решения будут полностью исключены.
Из этих 36 заданий:
- 25 требуют выбора одного правильного варианта ответа из 5 предложенных и оцениваются 1 баллом.
- 3 задания нового формата требуют установления взаимосвязей. Скажем, есть два столбика с выражениями и необходимо для выражения в левом столбце найти тождественное ему выражение в правом. Всего в каждом задании требуется установить 4 взаимосвязи, так что максимум баллов за каждое задание – 4.
- 8 заданий, требующих найти ответ самостоятельно и вписать его в соответствующее поле бланка. Правильный ответ на такие задания оценивается в 2 балла.
Итого максимальное количество баллов, которое можно набрать, правильно решив все задания внешнего тестирования равно 53.
Распределение тем заданий представлено в таблице:
Предмет | Темы | Виды заданий | Всего | ||
На выбор правильного ответа | На определение соответствий | На самостоятельный поиск ответа | |||
Алгебра | Числа и выражения | 6 | 1 | 1 | 8 |
Уравнения и неравенства | 3 | 0 | 3 | 6 | |
Функции | 3 | 1 | 2 | 6 | |
Элементы комбинаторики, начала теории вероятности и математической статистики | 3 | 0 | 0 | 3 | |
Геометрия | Планиметрия | 5 | 0 | 1 | 6 |
Стереометрия | 5 | 1 | 1 | 7 | |
Всего | 25 | 3 | 8 | 36 | |
По сложности задания делятся следующим образом:
Предмет |
В программе Независимого внешнего оценивания 2010 года математика является обязательным предметом для поступления в технические, технологические, экономические, и, разумеется, в естественные и математические вузы. Поэтому тем, кто серьёзно настроен на получение после школы престижной и востребованной специальности, готовиться стоит начинать уже сейчас.
Стоит начать с разбора решений заданий внешнего независимого оценивания 2009 года:
- Задания 1-5: Преобразование рациональных выражений. Свойства углов треугольника. Свойства степеней с рациональным показателем. Арифметическая прогрессия. Делимость.
- Задания 6-10: Показательные неравенства. Подобие треугольников, теорема Фалеса. Проценты. Преобразование рациональных выражений. Сравнение дробей.
- Задания 11-15: Свойства функций: чётность/нечётность. Векторы. Теория вероятности. Производные. Стереометрия.
- Задания 16-20: Преобразования графиков функций. Тригонометрические уравнения. Комбинаторика. Теорема косинусов. Подобие тел.
- Задания 21-25: Степени с рациональным показателем. Планиметрия: средняя линия треугольника, теорема Пифагора. Тригонометрия, основное тригонометрическое тождество. Объёмы тел. Логарифмические уравнения.
- Задания 26-30: Решение задачи по вопросам. Рациональные неравенства. Стереометрия: площадь поверхности тел. Системы показательных уравнений. Исследование функций.
- Задания 31-33: Стереометрия: сечения. Площадь криволинейной трапеции. Иррациональные неравенства.
Задания 1-20 проходят в формате тестов, хорошо знакомому участникам олимпиады Кенгуру и требуют выбора одного ответа из пяти. Задания 21-30 требуют самостоятельного нахождения ответа участником. Задания 31-33 требуют также развёрнутого решения.
Для учителей математики при организации процесса подготовки будут интересны методические разработки.
Будьте в курсе дат регистрации, тренировки и тестирования.
Рекомендуем пройти также онлайн тест.
В задания олимпиады Кенгуру каждый год включается несколько задач, которые позволяют сравнить уровень математических знаний у учащихся разных классов. С результатами мониторинга 2009 года на семинаре координаторов в г.Яремче ознакомил представитель оргкомитета олимпиады, Роман Евгениевич Кокорузь.
Для мониторинга были выбраны четыре задачи:
Условие 12:
Стороны четырёхугольника ABCD равняются: AB=11, BC=7, CD=9, AD=3, а углы A и C – прямые. Чему равна площадь четырёхугольника?
Варианты ответа:
А:30; Б:44; В:48; Г:52; Д:60;
Условие 17:
Коробку размером 30х30х50 нужно наполнить одинаковыми кубиками. Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?
Варианты ответа:
А:15; Б:30; В:45; Г:75; Д:150;
Условие 19:
Восемь карточек, занумерованных числами от 1 до 8, положили в коробки А и В так, что суммы чисел в коробках равны. Если известно, что в коробке А всего 3 карточки, то можно быть уверенным, что:
А: три карточки в коробке В с нечётными номерами;
Б: 4 карточки в В имеют чётные номера;
В: карточка с номером 1 не в коробке В;
Г: карточка с номером 2 в коробке В;
Д: число 5 в коробке В;
Условие 23:
Комнаты отеля пронумерованы тремя цифрами. Первая цифра обозначает этаж, а следующие две – номер комнаты. Например, 125 означает 25ю комнату на первом этаже. В отеле 5 этажей, они пронумерованы от 1 до 5, с 35 комнатами, пронумерованными от 101 до 135 на первом этаже и аналогичным образом – на остальных. Сколько раз при нумерации комнат использовали цифру 2?
Варианты ответа:
А:60; Б:65; В:95; Г:100; Д:105;
Узнать, какие ответы преобладали над правильными решениями этих задач можно на нашем сайте
Советуем дать эти четыре задачи в своём классе и сравнить результаты со средними по стране.