Сайты и блоги проекта "Приглашение в мир математики" за последнее время пополнились новыми материалами.

 Завершился XV тур Математического Марафона. Решения задач опубликованы в блоге Интересные задачи по математике.

 По просьбам читателей блога, посвящённого проведению математической олимпиаде Кенгуру, выложены задания для младших классов: 2, 3 и 4. 

 А в блоге по занимательной математике "Десять букв" - множество обновлений. Здесь можно прочитать о:

Интересной самоописывающей нумерации кубов

Особенностях 2012 года

Применении теоремы синусов

Различных средних: арифметическом, геометрическом и гармоническом

Правильном выносе из-под корня 

А также посмотреть видео о полёте через трёхмерный фрактал и поиграть в мою новую игру Save the Paintings

Впереди ещё много интересного!

В программе Независимого внешнего оценивания 2011 года математика является обязательным предметом для поступления в технические, технологические, экономические, и, разумеется, в естественные и математические вузы. Поэтому тем, кто серьёзно настроен на получение после школы престижной и востребованной специальности, готовиться к тестированию необходимо начинать уже сейчас.

Следите за блогами, посвящёнными внешнему оцениванию и итоговой аттестации ЗНО 2010 и ЗНО 2011

Освежите свои математические знания, разобрав решения пробного внешнего тестирования 2011:

• Задачи 1-4: Признаки делимости. Геометрия. Углы. Дроби. Планиметрия. Четырёхугольники.



• Задачи 5-8: Неравенства. Векторы. Иррациональные числа. Cтереометрия. Развёртки.



• Задачи 9-12: Степени. Функции. Планиметрия. Окружность. Графики.



• Задачи 13-16: Тригонометрия. Модуль. Логарифмы. Функции.



• Задачи 17-19: Показательные уравнения. Координаты в пространстве. Арифметическая прогрессия.



• Задачи 20-22: Стереометрия. Цилиндр. Производные. Конус.



• Задачи 23-25: Тригонометрия. Трапеция. Функции.



• Задачи 26-28: Тригонометрия. Графики. Функции. Формулы сокращённого умножения. Планиметрия. Трапеция.



• Задачи 29-31: Функции. Парабола. Проценты. Комбинаторика.



• Задачи 32-33: Тригонометрия. Показательные неравенства.



• Задачи 34-35: Стереометрия. Пирамида. Рациональные уравнения с параметром.

Владимир Лецко начинает новый тур Математического Марафона. От меня в этот раз в нём всего одна задача, так что буду осуществлять в основном информационную поддержку.

Задачи очень интересные, за короткой формулировкой открывается широкий простор для мысли. Есть, чем заняться на каникулах :)

Решения можно присылать на val@dxdy.ru (в этом случае его сразу увидят оба ведущих), на val-etc@yandex.ru или в ЛС.



Не забывайте высылать вместе с решениями свои эстетические оценки задач.



==================================


Решения принимаются до 10.09.11


ММ141
(3 балла)


Существуют ли натуральные числа [показать] такие, что [показать]?

( [показать] - сумма натуральных делителей числа [показать].)



==================================

Решения принимаются до 14.09.11

ММ142

(4 балла)


Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, делители с четвертого по седьмой - арифметическую прогрессию, а восьмой делитель меньше 200.

Найти n.

==================================

В Тематическом конкурсе тура - вновь комбинаторная геометрия .

Более того, во всех тематических задачах, кроме КГ-11, речь вновь пойдет о многоугольниках. Но на этот раз - не обязательно выпуклых.
==================================

Решения принимаются до 18.09.11


ММ143 (КГ-11)

(4 балла)
Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра?



==================================

Решения принимаются до 23.09.11


ММ144

(5 баллаов)
На поле e4 стоит чёрный король. Первый игрок ставит на любую клетку доски, не находящуюся под боем чёрного короля, белых королей (по одному за ход). Второй игрок делает (правильный) ход чёрным королём. Игра заканчивается, когда у чёрного короля не будет ходов. Каково минимальное количество ходов, за которое первый игрок может достичь цели?



==================================

В задачах КГ-12 - КГ-15 будем придерживаться следующих определений и обозначений:

Под многоугольником мы будем понимать плоскую замкнутую несамопересекающуюся ломаную, никакие три последовательные вершины которой не коллинеарны. Число сторон исходного многоугольника обозначим через n.
Назовем сторону многоугольника свободной, если продолжение этой стороны за каждую ограничивающую ее вершину в некоторой окрестности этой вершины лежит вне многоугольника.
Назовем сторону полусвободной, если вне многоугольника лежит продолжение стороны ровно за одну из двух ограничивающих ее вершин. Сторону, не являющуюся ни свободной, ни полусвободной, будем называть зажатой. Например, сторона AB (рис. 1), является свободной, сторона BC - полусвободной, а сторона EF - Читать далее...

Уважаемые читатели! Поздравляем вас с Новым Годом!

2010 год для развития проекта «Приглашение в мир математики» оказался очень продуктивным. Общение с вами перешло из переписки по электронной почте в блоги. Там вы почти каждый день можете увидеть новый интересный математический факт, новую задачу и её решение.

В этом году вы начали участвовать в наших математических конкурсах. Прошли три интернет-олимпиады и запущена четвёртая. Кроме того, проводились математические маневры – первый в истории конкурс, в котором сочетаются принципы пошаговой стратегии и олимпиады по математике.

На 2011 год планы не менее смелые. Во-первых, мы будем продолжать готовиться к олимпиаде Кенгуру-2011 и к внешнему оцениванию по математике ЗНО-2011. Кроме того, скоро появятся новые логические флеш-игры. И, разумеется, будут продолжаться математические конкурсы и публикация интересного из мира математики.

Желаем вам в новом году счастья, здоровья и чтобы все задачи решались красиво и легко!

Читать далее...

Два события 2011 года, подготовке к которым посвящён проект "Приглашение в мир математики", это: Международная математическая олимпиада Кенгуру-2011 и Внешнее независимое тестирование по математике ЗНО-2011.

Для удобства общения с читателями и предоставления актуальной информации открыты блоги http://kenguru2011.blogspot.com/ и http://zno2011.blogspot.com/. Здесь мы будем публиковать новости, задачи и решения  и постараемся ответить на все ваши вопросы.

 Также, чтобы лучше подготовиться,  рекомендуем перечитать материалы блогов Математическая олимпиада Кенгуру 2010 и Независимое внешнее тестирование 2010 

Флеш-игра, иллюстрирующая одну математическую задачу

Условие задачи

Человек плавает в круглом озере. На берегу его поджидает злой гоблин, который плавать не умеет, но бегает вчетверо быстрее, чем человек плавает. По суше же человек легко обгоняет гоблина, так что ему нужно успеть выбраться на берег так, чтобы гоблин его не схватил.

Эта задача - одна из тех, которые предлагают, или, во всяком случае, предлагали, пока она не приобрела широкую известность, на собеседованиях при приёме на работу в такие компании, как Microsoft.

Для эмпирическиого вывода принципа поведения человека была создана флеш-игра. На первом уровне скорость гоблина всего втрое выше скорости человека, и это отношение возрастает от уровня к уровню до четырёх.

Задавайте направление движения, просто двигая мышкой. По результатам "обкатывания" игры, только около 2% участников решили задачу, пройдя все 5 уровней. Окажетесь ли вы в их числе?

Играть в логическую игру Lake-Escape 

Математические маневры

Объединение пошаговой стратегии и олимпиады по математике

Читать далее...

Третья открытая интернет-олимпиада по математике

Решения и результаты 

 Завершилась третья открытая интернет-олимпиада по математике, которая проводилась совместно с ведущим Математического Марафона Владимиром Лецко.

• Решение задачи 1
• Решение задачи 2
• Решение задачи 3
• Решение задачи 4
• Решение задачи 5
• Решение задачи 6
• Решение задачи 7
• Решение задачи 8
• Решение задачи 9
• Решение задачи 10

Упорную борьбу за победу в туре с начала до конца вели Анатолий Казмерчук, Алексей Волошин иСергей Половинкин. В итоге Анатолий и Алексей разделили первое место, а вся троица далеко оторвалась от преследователей.
Виват лауреатам!

Читать далее...

Разбор задач первого дня тестирования (ЗНО) по математике

Закончился первый день ЗНО и можно приступить к обсуждению задач и ответов. Задавайте свои вопросы, постараемся ответить на все.

А пока – краткий разбор нескольких задач.

1. Выполнить действия

[показать]

Здесь чтобы найти ответ достаточно уметь выполнять действия с дробями

 

2. Из точки А к окружности проведена касательная АВ (В – точка касания). Проведена и секущая АС, проходящая через центр О окружности. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен [показать].

[показать]

OB – радиус, проведённый к касательной, и угол АВО – прямой. В таком случае искомый угол ВОС является внешним углом треугольника АОВ и равен [показать].

 

3. Решить неравенство 10>3x>4.

Разделив почленно на 3, получим:

[показать]

[показать]

 

4. Упростите

[показать]

Те, кто разбирал примеры заданий ЗНО на свойства степеней, наверняка справились с этим заданием.

5. Решите уравнение

[показать]

[показать]

x=-3

6. С суммы наследства в пользу государства взимается налог в 0,5%. Сколько будет взято налога с суммы 32000  грн?

32000*0,005=160 (грн)

7. Длина окружности основания конуса равна [показать] см, высота равна 3 см. Найдите образующую конуса.

[показать]

Т.к. длина окружности выражается по формуле [показать], то радиус основания конуса равен 3 см. А т.к. радиус, высота и образующая формируют прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 , то образующая равна 5.

Учитывайте также, что завтра обязательно будут аналогичные задачи, готовьтесь и удачи!

Решения задач пробного ЗНО

Задание 32

Тема: Наибольшее и наименьшее значение функции.

Условие Найдите наименьшее значение функции y=x³-12x на отрезке [0;3]



Задание 33

Тема:Площадь криволинейной фигуры.

УсловиеНайдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x³, y=8, x=0



Задание 34

Тема: Задачи с параметрами, системы.

Условие Найдите наибольшее значение параметра а, при котором система [показать] имеет единственное решение.



Задание 35

Тема: Логарифмические уравнения, модули.

Условие Решите уравнение |3lg x +1| – |lg x – 3| = 2. Если у уравнения один корень, запишите его в ответ, а если их больше – запишите СУММУ всех корней.



Задание 36

Тема: Стереометрия. Пирамида.

Условие Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 60^o . Найдите площадь площадь S сферы, описанной вокруг пирамиды. В ответе запишите значение [показать].

Решения примеров задач внешнего тестирования 2010

Обсудить решения задач в блоге ЗНО 2010 по математике

Итак, публикация решений примеров задач внешнего оценивания закончена. С апреля в разделе подготовки к внешнему тестированию мы будем публиковать решения задач пробного ЗНО по математике.

Задание 29. Тригонометрия. Найдите значение выражения tga+ctga, если a=15^o

Задание 30. Рациональные неравенства. Решите неравенство [показать]. В ответ запишите наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Если такого числа нет, то в ответ запишите число 100

Задача 95. Выпускник, 3й уровень, 2009 год

Ордината вершины параболы y=x²+bx+c равна -7 Сколько целых чисел может находиться между корнями уравнения x²+bx+с=0?

А:6 или 7; Б: 4 или 5; В: 5 или 6; Г: только 5; Д: только 6;

Задача 96. Юниор, 3й уровень, 2008 год

Кенгуру прыгает только вперёд на 1 или на 3 метра. Он хочет преодолеть ровно 10 метров. Сколькими способами он может это сделать?

А: 28; Б: 34; В: 35; Г: 55; Д: 56;

Задача 97. Кадет, 3й уровень, 2007 год

Дана числовая последовательность такая, что a₁=1, a₂=2, a₃=3, a_n+3= a_n+ a_n+1– a_n+2. Найдите a₂₀₀₇

А: -2006; Б: -2004; В: -2002; Г: 2008; Д: 2007;

Задача 98. Школьник, 3й уровень, 2007 год

Пять целых чисел написали по кругу так, что сумма никаких двух или трёх расположенных подряд не делится на 3. Сколько среди этих пяти чисел таких, которые делятся на 3?

А: 0; Б: 1; В: 2; Г: 3; Д: невозможно определить;

Задача 99. Малыш-3,4 классы, 3й уровень, 2008 год

Есть 5 коробок с карточками с буквами B, R, A, V, O.

В первой лежат B, V

Во второй лежат B, A, V, R

В третьей лежат A, B

В четвёртой лежит V

В пятой лежат B, R, A, V, O

Петя вытащил из коробок карточки так, чтобы в каждой коробке осталось по одной карточке и в разных коробках остались карточки с разными буквами. Какая буква останется во второй коробке?

А: B; Б: R; В: A; Г: V; Д: O;

Задача 100. Малыш-2 класс, 3й уровень, 2008 год

Маша подарила маме, бабушке, тёте и двум сёстрам по букету цветов. Цветы для сетсёр и тёти были одного цвета. Известно, что бабушке она подарила не розы. Какой из этих букетов получила мама?

А: Жёлтые тюльпаны; Б: Розовые розы; В: Красные гвоздики; Г: Жёлтые розы; Д: Жёлтые гвоздики;

Решения задач математической олимпиады Кенгуру и ответы

Вот мы и достигли отметки в 100 задач олимпиады Кенгуру. Правда, учитывая задачи мониторинга уровня знаний учащихся в 2009 году, на самом деле эта отметка была достигнута ранее, а всего сейчас на сайте:

• 112 решённых задач олимпиады Кенгуру;


• 61 решение задач внешнего независимого оценивания;


• 64 задачи, предлагавшихся на олимпиадах по математике;


• 22 статьи о занимательной математике;


• Работают тематические блоги, где регулярно появляются новые материалы, задачи и ведётся общение с читателями.

Самый новый открывшийся блог:

Десять букв, DesyatBukv.BlogSpot.com – блог про интересные числа, занимательные математические факты и удивительные конструкции. Каждый день можно узнать что-то новое. Блг назван так, потому что в самом словосочетнаии "десять букв", а также в транслитерированом, и в переведённом на английский, французский, болгарский, венгерский, испанский, каталанский, македонский, румынский, сербский и хорватский языки - действительно десять букв.

А в блоге Математические задачи недели открылись решения первого блока задач и стартовал

Математический аукцион!

Правила математического аукциона 

Читать далее...

Задача 89. Выпускник, 3й уровень, 2009 год

Найдите, при каких значениях острого угла a уравнение

(2cosa -1)x² - 4x + 4cosa + 2 = 0

будет иметь два действительных положительных корня?

А:0^o < a < 30^o; Б: 0^o < a < 60^0; В: 30^o < a < 60^0; Г: 30^o < a < 90^0; Д: 0^o < a < 90^o;

Задача 90. Юниор, 3й уровень, 2009 год

Последовательность целых чисел задаётся рекуррентно: a₀=1, a₂=2, a_n+2=a_n+(a_n+1)². Чему равен остаток от деления a₂₀₀₉ на 7?

А: 0; Б: 1; В: 2; Г: 5; Д: 6;

Задача 91. Кадет, 3й уровень, 2008 год

Решением уравнения (x+2²⁰⁰⁷)² – (x–2²⁰⁰⁷)² = 2²⁰⁰⁸ является:

А: 0,5; Б: 2; В: 2²; Г: 2²⁰⁰⁸; Д: 0;

Задача 92. Школьник, 3й уровень, 2009 год

Комплект домино состоит из 28 костяшек, которые образованы всеми возможными комбинациями количеств точек от 0 до 6 включительно. Сколько всего точек в наборе домино?

А: 84; Б: 105; В: 126; Г: 147; Д: 168;

Задача 93. Малыш-3,4 классы, 3й уровень, 2009 год

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра справа больше цифры слева?

А: 9; Б: 18; В: 26; Г: 30; Д: 36;

Задача 94. Малыш-2 класс, 3й уровень, 2009 год

Секретный агент хочет расшифровать код из шести цифр. Он знает, что сумма цифр на первом, третьем и пятом местах равна сумме цифр на втором, четвёртом и шестом местах. Какой из предложенных вариантов не может быть кодом?

А: 81**61;

Б: 7*727*;

В: 4*4141;

Г: 12*9*8;

Д: 181*2*;

Решения задач математической олимпиады Кенгуру и ответы

Обсуждение задач в блоге "Кенгуру-2010"

Задача 83. Выпускник, 3й уровень, 2009 год

Каково максимальное значение выражения
sin a cos b + sin b cos c + sin c cos d + sin d cos a
для действительных a, b, c, d?

А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д: 8;

Задача 84. Юниор, 3й уровень, 2008 год

Известно, что х и у  - положительные действительные числа, и только одно из приведённых в ответах утверждений истинное. Какое?

А: x² > 2y²; Б: x > 2y; В: x > y; Г: x² > y²; Д: x > y²;

Задача 85. Кадет, 3й уровень, 2008 год

Некоторое количество прямых изобразили на бумаге так, что между ними есть углы величиной 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90°. Найдите наименьшее количество прямых, для которых такое возможно.

А: 4; Б: 5; В: 6; Г: 7; Д: 8;

Задача 86. Школьник, 3й уровень, 2009 год

В стране Туфляндии у каждого жителя правая нога на один или на два размера больше левой. К сожалению, в магазине продаются пары обуви только одинакового размера. Чтобы сэкономить деньги, несколько друзей пошли в магазин и каждый из них купил одну пару обуви. Когда они обменялись обувью, один ботинок 36 размера и один ботинок 45 размера оказались лишними. Какое наименьшее количество человек могло быть в этой группе?

А: 5; Б: 6; В: 7; Г: 8; Д: 9;

Задача 87. Малыш-3,4 классы, 3й уровень, 2009 год

На клумбе расцвели цветы: белый, красный, синий и жёлтый. Пчела Майя подлетает к каждом цветку всего 1 раз. Сначала она летит к красному цветку, а затем – к остальным. Майя не может лететь с жёлтого цветка сразу на белый. Сколькими способами пчела Майя может посетить все 4 цветка?

А: 1; Б: 2; В: 3; Г: 4; Д: 6;

Задача 88. Малыш-2 класс, 3й уровень, 2008 год

Петя прибавляет 2, Назар отнимает 1, а Дима удваивает число. Каждый мальчик выполняет своё действие только один раз. В каком порядке им нужно выполнять эити действия, чтобы из 3 получить 9?

А: Дима, Петя, Назар;

Б: Петя, Дима, Назар;

В: Дима, Назар, Петя;

Г: Назар, Дима, Петя;

Д: Петя, Назар, Дима;

Решения задач математической олимпиады Кенгуру и ответы

Обсудить задачи в блоге