Клипарт "Овощи, фрукты"

Сельскохозяйственные продукты питания, на прозрачном фоне, в формате PNG.

Немецкие геологи помогли археологам - используя фрактальный анализ, они смогли доказать, что в окрестностях Дахшура - некрополя фараонов Древнего и Среднего царств в Египте - люди в далеком прошлом вели активное строительство. Видимых глазу следов строений не осталось, но оказалось, что вмешательство человека в естественные процессы эрозии отпечаталось в самой структуре каналов. На первый взгляд это открытие может показаться экзотичным, но геометрические методы в геологии, даже такие, как фрактальный анализ, давно стали обычным делом.

Предки современных фракталов

В конце XIX века математики были озабочены вопросами, которые позже привели к возникновению топологии, законченной теории интегрирования и многим другим фундаментальным результатам. Тогда же зародились и первые предки фракталов, простейшим представителем которых можно считать канторово множество. Как это часто бывает, впервые этот объект появился в работе вовсе не Георга Кантора, а математика из Оксфорда Генри Смита в 1875 году. Вот как он сам описывал построение тогда еще безымянного объекта (pdf):

"Пусть дано некоторое целое число m. Разобьем отрезок от 0 до 1 на m равных частей и выкинем последний кусок (предлагается выкидывать интервал - то есть отрезок без граничных точек - прим. "Ленты.ру"). Затем оставшиеся m - 1 куска разобьем на m равных частей и из каждого снова выкинем по последнему. Продолжая так ad infinitum (то есть до бесконечности - прим. "Ленты.ру"), получим бесконечное число точек на отрезке."

[показать]

Георг Кантор

Работа Смита прошла почти незамеченной специалистами и множество было переоткрыто уже немецким математиком Георгом Кантором в 1883 году. На самом деле само множество Кантор не строил, он строил функцию, которая позже получила название канторовой лестницы - важный пример в теории интегрирования (в определение которой вдаваться не будем). Более того, никакие отрезки Кантор не рассматривал - его подход был чисто арифметическим.

Он рассуждал следующим образом. Рассмотрим точки на отрезке от 0 до 1 в троичной системе счисления. Все числа в этой системе записываются "десятичной" дробью, в записи которой присутствуют только 0,1 и 2. Например, 0,1₃ равно 1/3 в десятичной и так далее. Канторовым множеством называется множество чисел, в записи которых фигурируют только 0 и 2. Оказывается, это почти то же самое, что делал Смит, только в его конструкции m должно быть равно трем и на каждом шаге следует выбрасывать не последний отрезок, а тот, что посередине.

Полученный объект обладает рядом удивительных свойств. Например, на первый взгляд может показаться, что в нем очень мало точек - скорее всего, только граничные точки выкидываемых отрезков. Однако, это не так. Например, точка 1/4 в троичной системе счисления записывается как 0,020202..., поэтому не является граничной, но в канторовом множестве лежит. Более того, самому Кантору удалось доказать, что точек в названном в честь него множестве очень много - столько же, сколько в целом отрезке (математики называют такие бесконечные множества "множествами континуальной мощности"). При этом, к слову, суммарная длина всех выкинутых из отрезка интервалов равна единице, то есть в ходе построения было выкинуто практически все - такие вот математические гримасы бесконечности.

После Кантора и Смита метод построения разных множеств и объектов при помощи бесконечного процесса стал довольно популярен. В 1904 году, например, швед Хегл Кох предложил конструкцию кривой, получившей позже название кривой Коха, или снежинки Коха. Возьмем равносторонний треугольник и разобьем каждую его сторону на три части. Серединные отрезки выкинем, заменив их "рогом", составленным из двух отрезков той же длины, что и выкинутый. Получаем многоугольник с 12-ю сторонами. На каждой из них снова проделаем такую же операцию.