Никому они ничего не должны :-)

Вот, например, 1+2+3+4+5+6+7+... = -1/12, и нормально.

Ответ на комментарий PrimeFan # Серьезно...? Хм... А почему?:)

d0rc, дык это ж Zeta[-1]. :-)

А вообще я ещё в детстве вычислял эти расходящиеся ряды, сначала приводя их к знакопемеренным, а затем колдуя над частичными суммами, изобретая велосипеды, которые у старика Фихтенгольца в 9-м параграфе 11-й главы описаны :-)

... да, и в самом деле. Дела....

Ну в таком случае все ясно еще меньше.

По всему выходит, что 1+Sum[ 12*x, {x,1,inf} ] = 0?

1+12+24+36+48+60+... = 0:)

Каббалистика, какая-то.. Полагаю, опираясь на это можно доказать, что 1+1=3:)

d0rc, ну ты даёшь. Неужели не имел дела с обобщёнными суммами, с аналитическим обобщением функций и т.п.?

1+1 - это не ряд...

Ответ на комментарий PrimeFan # Про 1+1=3 - это шутка была:))
Да, ты знаешь, я как-то всегда ходил рядом, но не вглядывался. Т.е. у меня всегда было стойкое ощущение, что бесконечность - это бесконечность и дело с концом. Не могу сказать, что меня это удовлетворяло, но... а вот тут круто залез в разглядывание М-теории, и пришлось уже толком разбираться.

И меня это все очень удивляет! Т.е. я не понимаю в чем дело. Просто очень похоже, что я вообще не понимаю, что такое числа... это так странно.

А поделись знанием, в чем суть? Какой физический смысл у этого дела? Может быть пример из физики? Или тополгии?

d0rc, физический смысл обычно в физике, которая изучает материальные объекты. В математике же мы имеем дело с объектами информационными, работаем с информацией и её преобразованиями.

Те примеры, которые мы приводим из физики, работают потому, что также отражают передачу информации и обычно представляют из себя измерения чего-нибудь. Например, вычисление интеграла по объёму от плотности соответствует измерению массы тела, а оператор дифференцирования волновой функции по координате - измерению проекции импульса квантовой системы.

В случае с рядами у нас вычисление суммы. Это, по сути, извлечение информации о значении суммы из информации об общем члене ряда. Прямое суммирование - всего лишь один их методов этого извлечения, не всегда работающий. Т.е. у ряда может быть "сумма", не находимая суммированием.

Обобщение суммы ряда, так же, как и аналитическое продолжение функций, представляет собой как бы действие информационного оператора, вычленяющего нужный нам информационный объект (в нашем примере - "сумма" ряда) из "родительского" объекта (в нашем примере это вид общего члена ряда) вне зависимости от того, является ли первый аттрактором процесса, который используется "традиционно" (прямое суммирование в нашем примере).

Т.е. мы как бы вычленяем информацию о преобразовании информации из "традиционного" процесса и представляем её в виде оператора, который уже не зависит от сходимости процесса. Последняя - всего лишь стремление к бесконечности соотношения "сигнал/шум" в ходе этого процесса; обобщением же мы избавляемся от "шума" вообще и потому захватываем аналитически случаи, когда этот шум "превышает" сигнал (случаи расходимости).

Расходящийся ряд, таким образом, можно представить в физике как попытку измерения какой-либо величины, не приводящую к результату. Задача трёх тел - хороший тому пример, там последовательность учитываемых возмущений расходится, и мы не можем вычислить траекторию тела таким методом, но в то же самое время реальные тела летят по конкретным траекториям, т.е. невычислимость величины вполне совместна с её существованием и, более того, является "багом" вычисляющего, а не вычисляемого.

Извиняюсь, что сумбурно, просто терминологии маловато пока в этой области знаний... :-)

Да, действительно сумбурно...:) Мне пришлось подумать, прежде , чем ответить. Я, конечно, представляю себе идеи лежащие в основе теории аналитического продолжения функций и проч. А спрашивал я несколько о другом.

Дело в том, что если ты провел достаточно времени за суммированием таких вот бесконечных рядов, то ты должен был "интуитивно" представить себе суть того, что мы называем бесконечностью. И о том, что ты понял я тебя и спрашивал. Что происходит с суммой, когда она проходит некоторое бесконечное значение? Почему вообще так происходит?

Если говорить о моем примере, то 1/2, которая у меня получается, это (с другой стороны) значение "обобщенной суммы по Чезаро". Все очень осторожно говорят, что это не то, чтобы сумма, не то, чтобы ряда... Как собственно и об аналитических продолжениях функций...
[324x49]

d0rc, бесконечность - это абстрактное понятие. Всяческие непонятности с ней появляются при попытке привязать её к реальности. Если принять постулат о том, что в объективной реальности не существует бесконечных объёмов информации, то исчезнут парадоксы вроде некоторых следствий аксиомы выбора или свойств невычислимых функций.

"Что происходит с суммой, когда она проходит некоторое бесконечное значение?" - а вот этого вопроса я не понял. Частичные суммы всегда конечны, они нигде не "проходят" бесконечностей...

Ты знаешь, бесконечность не такое уж и абстрактное понятие. Во всяком случае, нет никаких убедительных свидетельств в пользу этого. Информация - само по себе понятие уж скорее является абстрактным. Можно, конечно, говорить об информации, как о состоянии некоторого реального объекта, но так как состояние объекта имеет смысл только будучи донесенным, измеренным, если угодно, до другого физического объекта, то тут уж нет никаких запретов на бесконечность... сумбурно, но вроде более-менее точно.

Я говорил не о частичной сумме, а о бесконечной. Не хочется заниматься буквоедством, но частичные суммы вовсе необязательно конечны - не обязательно же суммировать только действительные числа... я просто пытаюсь рассуждать о том, какие свойства действительной прямой приводят к необходимости признания тождеств о суммах расходящихся рядов.

Исходное сообщение PrimeFan
d0rc, бесконечность - это абстрактное понятие. Всяческие непонятности с ней появляются при попытке привязать её к реальности. Если принять постулат о том, что в объективной реальности не существует бесконечных объёмов информации, то исчезнут парадоксы вроде некоторых следствий аксиомы выбора или свойств невычислимых функций.

"Что происходит с суммой, когда она проходит некоторое бесконечное значение?" - а вот этого вопроса я не понял. Частичные суммы всегда конечны, они нигде не "проходят" бесконечностей...

...а что до парадоксов, порождаемых аксиомой выбора, то ты говоришь о составлении двух шаров из одного? Тебе эта идея не нравится?
И вот еще по поводу расходящихся рядов, есть ли сведения по поводу суммы всех рациональных чисел?

В лоб, это число должно быть чем-то вроде:
[390x46]

Ответ на комментарий d0rc # Как такому выражению для \sigma сопоставить какое-либо действительное число?

Исходное сообщение d0rc
Ты знаешь, бесконечность не такое уж и абстрактное понятие. Во всяком случае, нет никаких убедительных свидетельств в пользу этого. Информация - само по себе понятие уж скорее является абстрактным. Можно, конечно, говорить об информации, как о состоянии некоторого реального объекта, но так как состояние объекта имеет смысл только будучи донесенным, измеренным, если угодно, до другого физического объекта, то тут уж нет никаких запретов на бесконечность... сумбурно, но вроде более-менее точно.

Как раз-таки в том, что информация реальна, и заключается запрет на бесконечность. На этом, по ходу, теория относительности построена.

По поводу шаров - не то чтобы не нравится, просто это не имеет отношения к реальности.

А сумма всех рациональных чисел, очевидно, равна нулю. Что же касается суммы всех положительных рациональных - тут надо подумать, но что-то мне подсказывает, что получится всё равно ноль.

Ну да, ес-но положительных... а почему ты настроен на нулевую сумму всех положительных рациональных? Можешь пояснить ход мысли?

Теория относительности? Ты имеешь в виду, запрет на распространение взаимодействий со скоростями выше 'c', каковое не просто что-то там, а скорость электромагнитных волн, и как следствие, полный порядок с уравнениями для электромагнитного поля, а за одно еще и таким списком проблем, что сомнений не остается?

Строго говоря, с точки зрения квантовой теории, информация еще более материальна. Один только запрет на копирование квантового состояния чего стоит.

Но при всем, при этом...

Исходное сообщение PrimeFan
Исходное сообщение d0rc
Ты знаешь, бесконечность не такое уж и абстрактное понятие. Во всяком случае, нет никаких убедительных свидетельств в пользу этого. Информация - само по себе понятие уж скорее является абстрактным. Можно, конечно, говорить об информации, как о состоянии некоторого реального объекта, но так как состояние объекта имеет смысл только будучи донесенным, измеренным, если угодно, до другого физического объекта, то тут уж нет никаких запретов на бесконечность... сумбурно, но вроде более-менее точно.
Как раз-таки в том, что информация реальна, и заключается запрет на бесконечность. На этом, по ходу, теория относительности построена.

По поводу шаров - не то чтобы не нравится, просто это не имеет отношения к реальности.

А сумма всех рациональных чисел, очевидно, равна нулю. Что же касается суммы всех положительных рациональных - тут надо подумать, но что-то мне подсказывает, что получится всё равно ноль.

Хорошо, хоть с шаром тебе нравится:) А к реальности, ты прав, отношения не имеет, в то время, как сама по себе аксиома выбора, звучит очень даже реалистично... может быть дело в том, что геометрия реальности слишком далека от евклидовой, а будь она такой, то и проблем с шаром не стояло бы....

"Любые два ограниченных подмножества евклидова пространства с непустой внутренностью являются равносоставленными."
[показать]

Исходное сообщение PrimeFan
Исходное сообщение d0rc
Ты знаешь, бесконечность не такое уж и абстрактное понятие. Во всяком случае, нет никаких убедительных свидетельств в пользу этого. Информация - само по себе понятие уж скорее является абстрактным. Можно, конечно, говорить об информации, как о состоянии некоторого реального объекта, но так как состояние объекта имеет смысл только будучи донесенным, измеренным, если угодно, до другого физического объекта, то тут уж нет никаких запретов на бесконечность... сумбурно, но вроде более-менее точно.
Как раз-таки в том, что информация реальна, и заключается запрет на бесконечность. На этом, по ходу, теория относительности построена.

По поводу шаров - не то чтобы не нравится, просто это не имеет отношения к реальности.

А сумма всех рациональных чисел, очевидно, равна нулю. Что же касается суммы всех положительных рациональных - тут надо подумать, но что-то мне подсказывает, что получится всё равно ноль.

Исходное сообщение d0rc
Ну да, ес-но положительных... а почему ты настроен на нулевую сумму всех положительных рациональных? Можешь пояснить ход мысли?

Ну, например, при умножении её на любое положительное рациональное число мы получаем ту же сумму.

Исходное сообщение d0rc
Теория относительности? Ты имеешь в виду, запрет на распространение взаимодействий со скоростями выше 'c', каковое не просто что-то там, а скорость электромагнитных волн, и как следствие, полный порядок с уравнениями для электромагнитного поля, а за одно еще и таким списком проблем, что сомнений не остается?

Строго говоря, с точки зрения квантовой теории, информация еще более материальна. Один только запрет на копирование квантового состояния чего стоит.

Информация НЕ материальна. Не следует путать материю и информацию. А запрет в теории относительности есть не что иное, как ограничение на передачу информации.

Посмотри вот тут, я недавно рассказывал народу:
http://www.astronomy.ru/forum/index.php/topic,46123.msg808761.html#msg808761
(пост №118 и далее)

Исходное сообщение d0rc
сама по себе аксиома выбора, звучит очень даже реалистично...

Ни фига. Она предполагает возможность вполне случайного выбора из континуума, т.е. возможность передачи бесконечного объёма информации, что в реальности невозможно. А геометрия тут ни при чём. :-)

Ответ на комментарий PrimeFan #

Исходное сообщение PrimeFan
Ну, например, при умножении её на любое положительное рациональное число мы получаем ту же сумму.

Да? Почему собственно?

Информация НЕ материальна. Не следует путать материю и информацию. А запрет в теории относительности есть не что иное, как ограничение на передачу информации.
Посмотри вот тут, я недавно рассказывал народу:
http://www.astronomy.ru/forum/index....html#msg808761
(пост №118 и далее)

Ах вот ты о чем... ну знаешь ли. Это все равно остается вопросом "веры". А раз интересует истина, то имеет смысл покопать в этом направлении еще... Запрет не на передачу информации, это уже следствие... Строго говоря, теория относительности не запрещает движение со скоростями выше скорости света, она лишь говорит - все, до чего вы можете дотянуться так или иначе - должно находится внутри вашего светового конуса, и оставьте надежду на то, что рано или поздно вам и объектам вашего темпомира удастся разогнать что-нибудь быстрее скорости света. Более ничего.

Ни фига. Она предполагает возможность вполне случайного выбора из континуума, т.е. возможность передачи бесконечного объёма информации, что в реальности невозможно. А геометрия тут ни при чём. :-)

Что такого плохого в том, что можно передать бесконечный объем информации, если у тебя в лапах есть континуум? Другое дело, что континуума-то нет в лапах... Я когда маленький был, и только изучал программирование, придумал как за оду операцию складывать любое количество целых чисел, и как же я расстроился, когда понял, что есть предел машинной точности:)))

А что касается построения множества натуральных чисел "из ничего", то это скорее отражает наше интуитивное предположение о том, что материальное из ничего возникнуть не может...

Исходное сообщение d0rc
Да? Почему собственно?

Множество слагаемых то же самое.

Исходное сообщение d0rc
Ах вот ты о чем... ну знаешь ли. Это все равно остается вопросом "веры".

Однако КМ работает независимо от того, верим мы в неё или нет. :-)

Исходное сообщение d0rc
Строго говоря, теория относительности не запрещает движение со скоростями выше скорости света

А я и не говорил про движение. Я говорил про передачу информации. :-)

Исходное сообщение d0rc
Другое дело, что континуума-то нет в лапах...

То-то и оно ;-)

Исходное сообщение PrimeFan
Множество слагаемых то же самое.

Не ухватил:(

Однако КМ работает независимо от того, верим мы в неё или нет. :-)

Гигантский вопрос по поводу самой КМ... А что касается информации, то все, что сообщает нам о ней квантовая теория, так это то, что квантовое состояние не может быть скопировано, что наводит на мысли о материальности информации...

А я и не говорил про движение. Я говорил про передачу информации. :-)

Ну так и я тоже, теория относительности не запрещает передачу информации со скоростями выше скорости света, она запрещает нам получать такую информацию...

Другое дело, что континуума-то нет в лапах...
То-то и оно ;-)

Что приводит к выводу, что если бы в лапах был этот самый континуум, то не было бы проблем с передачей бесконечного кол-ва информации. Но отсутствие континуума в физической реальности (если таковая есть), никак не мешает нам рассмотреть идеализации, что было бы, если бы таковой у нас был. В природе нет окружностей, но это не мешает нам пользоваться этой идеализацией... Так ведь?

Сорри, ступил... ТО запрещает нам "передавать такую информацию".

Исходное сообщение d0rc
квантовое состояние не может быть скопировано, что наводит на мысли о материальности информации...

"Материя - это то, что имеет массу, энергию" - такое определение я даю своим 7-классникам. Информация не имеет массы-энергии.

Исходное сообщение d0rc
В природе нет окружностей, но это не мешает нам пользоваться этой идеализацией... Так ведь?

Любая идеализация есть отбрасывание неучитываемой информации, имеющее результатом модель. О построении моделей я писал на том же астрофоруме. Вместе с тем уточнять модель за пределы погрешности её соответствия реальности бессмысленно. Радиус той же окружности мы задаём не с бесконечно большой точностью - ведь для этого понадобился бы всё тот же бесконечный объём информации.

Принцип неопределённости, кстати, прямиком вытекает из ограничения на объём информации, переносимой одним телом. Я писал на астрофоруме о трафике TS/h, - так вот, энергия трафика TS имеет физическое ограничение сверху E/2, где E = mc^2, m - масса системы, c - скорость света в вакууме.

Поверь мне в этих вещах на слово :-)

Исходное сообщение PrimeFan
Исходное сообщение d0rc
квантовое состояние не может быть скопировано, что наводит на мысли о материальности информации...
"Материя - это то, что имеет массу, энергию" - такое определение я даю своим 7-классникам. Информация не имеет массы-энергии.

Это определение, конечно, хорошо... но подходит только для введения в проблемную область:) Информация не имеет массы энергии? Очень может быть, что и так, а может быть и нет - это как посмотреть. Одно я знаю точно, если есть система с двумя состояниями, что соответствует классической информации, то для того, чтобы информацию ей сообщить, да и вообще, чтобы перевести ее в сколько-нибудь определенное состояние, т.е. информацией этой снабдить, необходимо таки потратить k*ln2 Дж, а это как-никак все же m=k*ln2/c^2 кг.

Я не настаиваю на этой точке зрения, просто говорю, что достаточных оснований для того, чтобы ее отмести, даже с точки зрения, что это лишнее усложнение - нет никаких... И прошу тебя изложить свою точку зрения на приводимые мною аргументы, очень может быть, что ты просто чего-то не договариваешь.:)

Исходное сообщение d0rc
В природе нет окружностей, но это не мешает нам пользоваться этой идеализацией... Так ведь?
Любая идеализация есть отбрасывание неучитываемой информации, имеющее результатом модель. О построении моделей я писал на том же астрофоруме. Вместе с тем уточнять модель за пределы погрешности её соответствия реальности бессмысленно. Радиус той же окружности мы задаём не с бесконечно большой точностью - ведь для этого понадобился бы всё тот же бесконечный объём информации.

Именно так, я лишь заметил, что если конинуум не присутствует в реальности, то это совсем не значит, что не стоит изучать его свойства, и если какое-то из этих свойств в принципе не может быть реализовано в природе, это не значит, что следствия этих свойств не найдут себе места в природе. В конце-концов, нет никаких оснований утверждать, что мир вообще может быть описан математикой, а история успехов естественных наук - просто удачное совпадение. Я не согласен с этой точкой зрения, конечно же, и у меня есть аргументы для того, чтобы ее отмести, но они не достаточны, если говорить совсем строго.

Принцип неопределённости, кстати, прямиком вытекает из ограничения на объём информации, переносимой одним телом. Я писал на астрофоруме о трафике TS/h, - так вот, энергия трафика TS имеет физическое ограничение сверху E/2, где E = mc^2, m - масса системы, c - скорость света в вакууме.

Поверь мне в этих вещах на слово :-)

Спасибо за толкование e=mc^2:) Я готов тебе поверить на слово, но это не целесообразно. Какой смысл верить на слово, когда пытаешься разобраться?:)

Мне, кстати, удалось упростить чуть-чуть мое выражение для суммы положительных рациональных.