Я не знаю правильно ли это, но я написала бы так:
1) Я начал-таки крениновку. Но: Я таки начал тренировку + изменение интонации.
2) Здесь тоже все, мне кажется, зависит от интонации. Если акцент на "я", то без дефиса, а если на "поверила", то с.
3) Здесь "таки" относится скорее не к слову "он", а к пропущеному "все", т.ч. я бы написала без дефиса.
4) Тоже без, т.к. между "хотелось" (к которому и относится "таки") и "таки" влезло "бы". Еще пример: Все ж таки.

Вот, чисто интуитивное.

Evgehka, спасибо)) Интуиция - вещь хорошая, но хотелось бы правило))
Но всё равно ещё раз спасибо за ответ, да ещё такой подробный)

Вот ВСЕ-ТАКИ точно пишется через дефис.

то, либо, нибудь, кое, таки, ка - пишутся строго через дефис.
строгость слегка уменьшается, если частица -таки переползает куда-то от слова, к которому относится. Как правило, это разговорый вариант "с одесским акцентом".
в конкретных примерах:
1) Я начал(?)таки тренировку - однозначно через дефис. Частица относится к глаголу.
2) И я(?)таки поверила - варианты. Если разговорный - без дефиса (поверила-таки, переставлены местами слова), если суть в том, что поверила именно я, а не кто другой, и -таки относится к местоимению, то через дефис.
3) Догнал он(?)таки вора - та же история.
4) Хотелось бы(?)таки знать - грамматически чудовищно, но в разговорном варианте употребимо. Но однозначно без дефиса, поскольку частица -таки ну никак не может относиться к частице бы.

Ляхис, это-то я знаю)) Спасиб)

Мари_Мишон, спасибо))) Хе...интуиция не подкачала, но правила знать надо)))

StarTear, в языке, как мне объясняла моя учительница, не только правила но и интуиция. бывают случаи, когда правила нет, надо чувствовать самому грань.

Мари_Мишон, а где можно посмотреть правило о "переползании" частицы "таки"?
Вот еще подумалось... Не будет ли в случае "одесского акцента" слово "таки" вводным?
И я, таки, поверила (исключительно для передачи разговорной речи).
Исходя из здравого смысла...
При употреблении частицы "таки" в иных случаях необходимо использование формы с глаголом (правила не нашел, склонен полагать, что "таки" с глаголом может употребляться только при передаче разговорной речи) или с союзом "все" (+ разговорные наречия: например, опять-таки).
1) И я все-таки поверила.
2) И я поверила-таки (звучит как-то по-одесски :)).
В правилах ничего об употреблении частицы "таки" для передачи интонации я не обнаружил...

Timondel, сам по себе язык - четкая система правил и исключений (а не исскусство; искусство же заключается в том, насколько этим языком ты владеешь). Поэтому, полагаю, правила есть, просто, мы о них не знаем...
_________
"Интуиция - вещь хорошая, но хотелось бы правило" (С) StarTear :)

Пагер, таки, да!

Есть некая система изучения Русского языка. Там сотни правил пунктуации заменяются на 2-3. Нужно просто учитывать физический смысл предложения:действие, изменение состояния и тд. подробно сейчас не готов ответить, видел только анонс к занятиям =))