Рассказывала ученице, как приходила в одну
школу принимать задачи у маленьких школьников,
и там была девочка, которая никак не понимала,
как решать уравнения (но не знала этого).
Она переносила слагаемое из левой части в правую,
при этом меняя знаки у произвольных слагаемых
в левой и в правой части (но не у всех). Когда
я полюбопытствовала, зачем она это делает, она
ответила: "Ну я же делаю перенос в другую часть!
Значит, где-то тут должен поменяться знак".

Ученица ответила: "Я тоже так делала. Пока учительница
не объяснила мне. Она сказала: "Переезжаешь границу --
меняешь паспорт". Я это запомнила, и тогда уже
стала все понимать".

Это вот к вопросу о том, как формируется понимание.
Ученица употребила верное слово: аналоговое
"понимание" -- это соотнесение с каким-то жизненным
опытом, прямо вот, извиняюсь, аналогия. Для меня
перенести в другую часть было метафорой добавления
одного и того же слагаемого к обеим частям
равенства. Почему это можно делать -- потому что
операция сложения устроена так, что она гарантирует
существование обратного (противоположного) элемента,
откуда можно вывести возможность сокращения одинаковых
слагаемых в обеих частях равенства. Так думать
естественно, но не менее естественно представить себе
уравновешенные весы и возможность добавлять -- убирать
с обеих чашек одинаковые гири, не испортив равновесия.
То есть, то же самое соотнесение с жизненным опытом.
Просто возбуждается некая уже привычная pattern нейронов,
и когда это начинает происходить -- вот оно,
"понимание".

http://lj.rossia.org/users/aculeata/1402727.html