* педагог (через др.-греч. παιδαγωγός и лат. paedagogus -- водить детей / ходить с детьми) -- воспитатель

происходит от др.-греч. παιδαγωγός «воспитатель, наставник; букв. (раб) ведущий мальчиков», из др.-греч. παῖς (παιδίον) «дитя, мальчик, воспитанник» (откуда παιδεία «воспитание, обучение») + ἀγωγός «ведущий, тот, кто ведёт», далее из ἄγω «вести; гнать, управлять», далее из праиндоевропейского *ag'- «гнать» (рус. -га/-го / гон -- англ.-сакс. go/gone). В большинстве европейских языков слово заимствовано через лат. paedagogus.

* преподаватель (пре- + по-давать + эль) -- подавать знания (любому человеку) по предмету, правде и праву, прелестям и т.д. и т.п.

Фасмер|образовано от глагола "преподавать", из пре- + по- + дать, далее из праслав. *dā́tī; *dājā́tī; *dāvā́tī, от которой в числе прочего произошли: ст.-слав. дати (греч. διδόναι), рус.дать, давать, укр.дати, белор. даць, сербохорв. да̏ти, словенск. dáti, чешск. dát, польск., в.-луж. dać, н.-луж. daś. Восходит к праиндоевр. *do-. Родственно лит. dúoti, 1 л. ед. dúomi, dúodu «даю», греч. δίδωμι, др.-инд. dádāti «дает», авест. dadāiti «даёт», алб. аор. dhashë «я дал», алб.-тоск. dhënë ж., гег. dhąnë ж. «дар».

* учитель (учи ить) -- иди учи "следуя учениям" (ить = иди/идти, эль = артикль и божественность/высший разум).

Фасмер|происходит от глагола "учи́ть", из праслав. *učiti, от которой в числе прочего произошли: др.-русск. учити, укъ «учение», ст.-слав. ѹчити, ѹчѫ (др.-греч. греч. διδάσκειν), русск. учить, укр. учи́ти, белор. вучыць, наву́ка, болг. у́ча «учу», сербохорв. у̀чити, у̀чи̑м, словенск. učíti (-ím), чешск. učit, словацк. učiť, польск. uczyć, uczę, в.-луж. wučić, н.-луж. hucyś. Праславянское *učiti связано чередованием гласных с *vyknǫti (см. вы́кнуть), родственно др.-прусск. iaukint «упражнять», лит. jaukìnti, jaukinù «приучать, укрощать», jaũkas «манок, приманка», jaukùs «смирный, ручной», др.-инд. úсуаti «находит удовольствие, имеет обыкновение», ṓkаs «удовольствие, удовлетворение», арм. usanim «учусь, приучаюсь», готск. biūhts «привычный».