Сегодня я расскажу вам о восхитительной тщетности самого эффективного приёма в арсенале математиков: о математической индукции.

Что такое индукция?
Это, как в математике водится, очень просто. Мы думаем, что если для какого-нибудь начального числа объектов мы можем доказать некое утверждение и вдобавок, принимая утверждение доказанным для любого числа объектов, умеем доказывать его, если прибавить ещё один объект - то это утверждение верно всегда. Для иллюстрации покажем, что все люди - дураки. Один дурак у нас уже имеется - это я (база индукции). Пусть у нас есть много дураков и к ним в компанию пришёл ещё какой-то человек, умён ли он? Очевидно, нет, потому что даже если бы он был умён (NB: доказательство от противного - другой эффективнейший приём из математического арсенала), то общения со сплошными дураками он бы не выдержал и тоже поглупел бы, либо сошёл с ума (индуктивный переход). В качестве самостоятельного упражнения оставим доказательство утверждения "все блоггеры - самовлюблённые болваны", а также поиск формальных ошибок в обоих этих доказательствах.

С другой стороны, рассмотрим два примера из области классической логики, в одном из которых математическая индукция применяется корректно и приводит к интуитивно сомнительному выводу, и другой, в котором практически такое же применение математической индукции приводит к очень похожему выводу, настолько же интуитивно сомнительному, но, тем не менее, ошибочному.

Тонкий, пристальный, даже немного параноический взгляд сумеет разглядеть разницу между этими двумя индуктивными рассуждениями: тонкую грань, за которой узники или островитяне могут гордо сказать про себя, что владеют логикой в совершенстве, и тем самым приговорить себя к смерти. Но зачем нам вглядываться, тем более видя, как логические задачи раз за разом увязывают совершенное владение логикой и скорую неизбежную гибель? Не проще ли, не естественнее ли, не логичнее ли поставить под сомнение самую процедуру математической индукции - тот момент, когда мы воспаряем над доказанной базой индукции посредством эфемерных крыльев индуктивного перехода, когда мы говорим что-то невнятное про n и про n+1, когда мы, в своей самонадеятельности неудавшихся создателей вавилонской башни, тщимся построить лестницу из песка и исчислить количество песчинок в ней?

Математики - посмотрите вокруг! Мы существуем в мире, в котором не бывает простых чисел и вообще не бывает никаких чисел. Посмотрим вокруг трезвым, взвешенным взором: среди всех бессчисленных метафор и абстракций не бывает больше чем шесть объектов зараз. Математическая индукция - это бесовский инструмент, и где-то в бесконечности прячется целое число, квадрат которого не равен сумме ряда последовательных нечётных чисел.