Учуся в истине блаженство находить
А.С. Пушкин
Послушаем, что может сказать второклассник Ваня. Пронумеруем пальцы руки. Большой палец цифрой 1, тогда мизинец цифрой 5. На что надо умножить 1, чтобы получить 5? Правильно, на пять. А цифру 2, чтобы получить 4? Правильно, на два. Умножим 3 на 1, чтобы получить номер среднего пальца три. Для 7 чисел этого сделать нельзя. Нет множителя, чтобы из 3 получить 5. А для 3 чисел можно. Проверил еще несколько нечетных чисел. Не получается. Другие натуральные числа этим свойством не обладают.
3
2 2 4
1 3 1 5
Ваня не знал и поэтому не заметил часть ряда чисел Фибоначчи, составленного из множителей 1, 1, 2, 3, 5. Это числа, в которых каждое последующее число равно сумме двух предыдущих 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 и так далее.
Доказательство полученного утверждения начнет девятиклассник Петя. Запишем конечный ряд натуральных чисел следующим образом 1, 2, 3, ... , n, n + 1, n + 1, n + 2, ... , 2n + 1.
Рассуждаем аналогично: число 1 умножим на k1, чтобы получить 2n + 1.
1*k1 = (2n + 1) - 0,
2*k2 = (2n + 1) - 1,
3*k3 = (2n + 1) - 2,
........................................................................
n*kn = (2n + 1) - (n - 1) = n + 2,
(n + 1)*kn+1 = (2n +1) - n = n + 1.
Отсюда имеем n(kn - 1) = 2 и (n + 1)kn+1 = n + 1.
Случай первый: n = 1, k1 = 3, k2 = 1. Случай второй: n = 2, k2 = 2, k3 = 1, k1 = 2*2 + 1 = 5.
Таким образом, мы получили 1 - 2 - 2 - 3 и 1 - 2 - 3 - 3 - 4 - 5.
Поможем Пете закончить решение задачи. Введем понятие симметричного числа f(x) = x + x2 + x = (x + 1)2 - 1 = x(x + 2)= 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99, 120, 143, 168, 195, 224, 255, 288, 323, 360, 399, 440, ....
Найдем суммы и произведения чисел, которые получили дети.
1 + 2 + 2 + 3 =8, 1*2*2*3 = 12; 1 + 2 + 3 +3 +4 +5 = 18, 1*2*3*3*4*5 = 360.
Теперь проверим на симметричность числа 12 и 360: f(8) = 80 > 12, f(18) = 360.
Итак, в естественных условиях на руке может быть пять пальцев.
Свойство числа 5 и число пальцев не руке случайное совпадение? Даже здесь читатель может заметить еще не одно "совпадение". Их слишком навязчиво много, если решение этой задачи связать с важной математической закономерностью.
Об отклонениях. Шестипалые встречаются так же как и двухголовые. Экспериментаторы на опытах с животными получали до 13 пальцев включительно. Видно дальше не получалось.
На руке фаланг пальцев 14, а косточек в стопе 28. Палку берут между большим и указательным пальцем. Внутри ладони видим как бы число 14, а снаружи 41. Всплывает таинственный многочлен Эйлера x2 + x + 41 с 40 простыми числами последовательно.
Поставим в соответствие натуральному ряду чисел простые числа, начиная с числа 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... 26 27
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 ...97 101
Начиная с 27 число знаков в рядах, не совпадают. Нет больше числа с таким свойством как 41. В нем цифры записаны в обратном порядке по отношению к его номеру.
Интересный факт, до 1*2*3*5*7*11 = 2310 простых чисел 343 = 73 без числа 1.
Почему число 1 не простое? Простое, но оно обладает свойством двойственности. Из-за чего считать 1, лишено смысла! Попробуйте считать часть ряда Фибоначчи, которые мы уже знаем 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Если будете указывать пальцем на каждое число по разу - единиц две, а посчитаете одну единицу - это уже не счет.
Ладонь как и крона дерева явное проявление закона симметрии и асимметрии, как и та числовая закономерность, о которой я упомянул ранее.
Слышал "наши" собираются в межпланетное путешествие. Засмеют марсиане. Скажут: "Вот земляне, не знают почему на руке пять пальцев, а приперлись на Марс".