Введение
Данный курс имеет две цели.
Первая цель - помочь школьникам подготовится к ЕГЭ и ГИА по наиболее сложным разделам школьной математики – стереометрии и решении уравнений и неравенств с параметрами. Помочь подробной иллюстрацией решений в максимально наглядной форме. Другое средство помощи - показать высокоэффективные приемы применения векторов при решении таких задач. Что касается графики – вопрос бесспорный, для применения векторов необходимы веские аргументы.
Даны задачи, которые с помощью векторов решается практически мгновенно, а задачи на кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве становятся элементарными. Тем самым большой поток задач – источник затруднений – несётся мимо. Ради этого можно пойти на освоение понятия векторного произведения векторов. Кроме того, это понятие имеет фундаментальное значение во всей науке, а главное, будет достигнуто существенное облегчение изучения стереометрии и сэкономлено время на решение указанных задач.
Несколько сложнее мотивация развития методов решения уравнений и неравенств с параметрами. Этот раздел по существу сложен, но чрезвычайно актуален - решение задач с параметрами выводит школьную математику на теорию катастроф, чего нет в настоящее время даже в вузовских обязательных программах. Здесь изучается такие явления, при которых решения могут исчезать и появляться одиночно или сериями. Содержательное изложение таких задач средняя школа должна вводить.
Это лишь один аргумент. Приведу ещё один: олимпиады, ЕГЭ и ГИА всегда содержат задачи с параметрами, которые, как правило, составляют их наиболее сложную часть. Необходимо научить школьников решать их!
Вторая цель – дать основу для ведения в школе исследовательской работы по математике. Излагаемые в пособии методы открывают в школьных условиях возможность приступить к исследовательской деятельности в части:
анализа решений больших систем уравнений, возникающих в задачах управления сложными системами: энергетическими, биологическими, экономическими, социальными и т.д.
космической навигации и для управления взаимным движением космических кораблей в пространстве;
астрофизическими процессами движения космических систем, галактик и их столкновений;
при разработке компьютерных игр, в которых описание вращений сражающихся воинов требует виртуозного владения векторами;
в развитии и обобщении действительных чисел: комплексных чисел, кватернионов и октав.
Все перечисленные направления невозможно даже упрощенно рассказать, если учащийся не владеет векторными методами.
Они будут раскрыты в последующих статьях.

Часть 1. Решение задач по стереометрии векторными методами.
Состоит из четырех уроков.
Первый - вводный в нем излагаются основные положения векторной алгебры и дается примеры их эффективного применения.
Второй и третий уроки содержат решение задач по стереометрии из сборника ЕГЭ 2011.
Задачи рассматриваются разными методами и сопоставляются по трудоемкости и характеру ошибок, которые допускаются при их решении.
Даются комментарии и рекомендации.
Четвертый урок содержит задачи повышенной трудности (из олимпиад МГУ, МЭИ и др. вузов).

Часть 2. Решение уравнений и неравенств с параметрами.

Состоит из трех уроков.
Первый урок – пять задач для решения уравнений с параметрами, представленных в виде анимированных презентаций. Опубликованы в Интернете на блогах http://vladis-vend.com и http://www.liveinternet.ru/users/4091922/.
Второй урок. Решение систем уравнений с двумя параметрами.
Третий урок - введение в теорию катастроф и системы уравнений с параметрами.


Часть 3. Исследовательские задачи по математике в школе.

Описание движения тел в пространстве как сумма параллельного переноса тела и вращение тела вокруг заданной оси на угол б. Ось вращения задается единичным направляющим вектором (c1 c2 c3). Вводится вектор Гиббса:

G = tg(б/2) ( c1 c2 c3).

Вектор Н*, полученный из вектора Н при повороте его вокруг данной оси на угол б, определяется формулой:

Н* = cos2 (б/2){(1 - |G|^2 )Н + 2(G,XН) G + 2[GXH] }

Достаточно владеть понятиями скалярного и векторного произведений векторов, чтобы работать с движением тел в пространстве: и параллельными переносами, и всевозможными вращениями. Такие задачи рассматриваются в третьей части.


Краткие сведения из векторной алгебры
Предполагается, что выбрана ортогональная система координат в пространстве (x,у,z).
Векторы в пространстве V = (A1 B1 C1), W= ( A2 B2 C2) задаются их компонентами (проекциями на оси координат).
Рассматриваются следующие операции с векторами.
Умножение вектора V на число х есть вектор : хV = (хА хВ хС)
Сложение векторов есть вектор, : V + W = ( A1+A2 B1+B2 C1+C2)
Если точка М(x1 , y1, z1) начало вектора, а точка Q(x2, y2, z2) – конец вектора, то его проекции на оси координат равны разности координат конца и начала. Записывается это так

МQ = (x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1)

В отличие от записи координат точек запятые между проекциями векторов не ставят, но делают хорошо видимый интервал.

Скалярное произведение обозначается как VW или (V,W). Это число равное

V W = (V,W) = A1*A2 + B1*B2 + C1*C2 .

1) Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними

VW = |V||W| cos(V^W).

2) Или равно произведению модуля первого вектора на проекцию второго на направление первого.
(V,W) = |V|* проекция W на направление V первого.
Или произведению модуля второго вектора на проекцию первого на направление второго.
3)При перемене порядка сомножителей скалярное произведение не меняется.
4) Векторы V и W ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0: (V,W) =0
. Векторное произведение - вектор U
U = [V Х W] = (В1*С2 - В2*С1 - (А1*С2 - А2*С1) А1*В2 - А2*В1)
1) Вектоp U = [XW ] ортогонален и V, и W, что проверяется непосредственно:
А1( В1*С2 - B2*С1) -В1(А1*С2- А2*С1)+ С1(А1*В2 - А2*В1)= 0
Направлен U так, что с его конца вращение первого вектора ко второму с минимальном углом поворота видно против часовой стрелки.
2) Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Или равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними.
3) Перемена местами сомножителей векторного произведения приводит к умножению произведения на число ( - 1), т.е. дает противоположный к прежнему произведению вектор.
5) Векторное произведение векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда входящие в него векторы коллинеарны (лежат на одной прямой). При этом проекции векторов пропорциональны:
А1/А2 = В1/В2 = С1/С2,
т.е. существует число с такое, что V = c W.
Для вычисления векторного произведения составляют таблицу
i j k
A1 B1 C1
A2 B2 C2
Символы i,j,k – обозначения для единичных векторов, направленных по осям координат, будут пояснены в следующих статьях.
Проекция U на ось ОХ равна определителю, получаемому из этой таблицы вычеркивание первой строки и первого столбца.
Проекция U на ось ОУ равна определителю, получаемому из этой таблицы вычеркивание первой строки и второго столбца, взятому со знаком минус. Проекция U на ось ОZ равна определителю, получаемому из этой таблицы вычеркивание первой строки и третьего столбца. Примеры см.ниже.
Уравнение плоскости в пространстве
Вектор нормали к плоскости. Вектор V = (A B C), отличный от нуля, есть вектор нормали к данной плоскости, тогда и только тогда, когда любой вектор, лежащий в плоскости, ортогонален вектору V. Пусть точка М(х0, у0, z0) принадлежит рассматриваемой плоскости. Пусть Q(x, y, z) - произвольная точка, принадлежащая данной плоскости. Уравнение для переменных х, у, z называется уравнением плоскости, если все точки плоскости удовлетворяют ему и ни одна точка, не принадлежащая плоскости, не удовлетворяет ему.
Вывод уравнения плоскости в пространстве. Вектор
МQ = (x – x0 y - y0 z - z0 )
принадлежит плоскости, так как обе точки его: и начало, и конец - лежат на плоскости. Поэтому он ортогонален вектору V= (A B C) и
(V, MQ) = A(x – x0) + B(y - y0) +C(z - z0) =0
Обозначим D = - Ax0 - By0 - Cz0 и перепишем последнее равенство в виде
А х + Ву +Сz + D = 0.
Это и есть уравнение плоскости. Надо ещё доказать: если точка не принадлежит плоскости, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Это вытекает из того, что для точек Р, не принадлежащих плоскости, скалярное произведение (V, МР) не равно 0.
Как по уравнению плоскости определить её геометрические свойства?
Очень просто:
в уравнении плоскости коэффициенты при переменных определяют нормальный вектор А,В, С;
свободный член уравнения D равен взятому с обратным знаком скалярному произведению нормального вектора на вектор ОМ, где О есть начало координат, в которой рассматривается уравнение;
если вектор V имеет длину равную 1, то |D| есть расстояние плоскости до начала координат;
если (А В С) единичный вектор, а М (х, у, z) произвольная точка, то
|Ax + By + Cz + D| расстояние точки М до плоскости.
Уравнение плоскости, приведенное к виду, когда её нормальный вектор имеет единичную длину, называется нормальным уравнением плоскости. Чтобы из любого уравнения плоскости получить нормальное уравнение, надо все коэффициенты данного уравнения разделить на модуль нормального вектора.
Произведение трех векторов V, W , Н вида (V,[(WX H])называется смешанным произведением трех векторов: здесь векторы W и Н умножаются векторно, а полученный результат умножается скалярно на V.
Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.
Тройное смешанное произведение векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.
Изложенные положения позволяют компактно решать многие задачи стереометрии.