А. Ковальский родился в семье нотариуса. Детство его прошло в родительском имении под Сувалками, в русской Польше. В 1865 году отец будущего художника получает место нотариуса в Калише, и семья уезжает из Сувалок. В Калише А. Ковальский заканчивает гимназию и берёт свои первые уроки рисования. Продолжает обучение живописи, поступив в варшавский Класс рисунковый, где учится под руководством Войцеха Герсона, Рафала Хадзевича, Александра Каминьского.

В 1871 году художник уезжает за границу — живёт в Дрездене, Праге, Мюнхене. В 1872—1873 годах учится в дрезденской Академии изящных искусств. Признание как к художнику приходит к А. Ковальскому в Мюнхене, где он живёт с 1876 года, его картины охотно покупаются. Художник посещает занятия также в мюнхенской Академии, в городе он примыкает к кружку польских художников, сложившемуся вокруг Юзефа Брандта.

Темой работ А. Ковальского были жанровые сценки, нередко написанные с юмором, а также батальные и исторические полотна. В 1903 году он совершает путешествие в Северную Африку, после чего создаёт ряд работ на арабские мотивы. С 1890 года А. Ковальский — профессор мюнхенской Академии. Неоднократно выставлялся на родине: в Варшаве, Кракове, Львове, Познани. Завоёвывал почётные призы и медали на выставках в Мюнхене, Вене, Париже, Берлине, Сент-Луисе, Луисвилле. Был награждён в 1904 году Золотой медалью на художественной выставке во Львове.