Это выражение описывает состояние человека на утро, после усиленного возлияния, когда у несчастного наступает похмельный синдром, который сопровождается воспалением слизистой оболочки пищевода. В списке симптомов этих заболеваний - чувство жжения в желудке, нередко изжога и сухость во рту. А поскольку, пищевод действительно напоминает форму трубы - ощущения можно описать как горение трубы.
Хотя, существуют более экзотические предположения, как например это: выражение связано с "замкнутым циклом" производства стали. Доменная печь продолжает работать, а в трубе ничего нет, т.е. вовремя не подсыпали руду, уголь. Это сравнение похоже на состояние абстиненции (ломки) у алкоголика, когда для облегчения состояния товарищу хочется принять дозу алкоголя.