Профессор,д.т.н.Ян Беленький,
научный консультант образовательного центра
при берлинском отделении ZWST.
[700x525]


Математика-двигатель прогресса.
(доклад,посвящённый году математики )

Каждые 4-ре года учёные Германии отмечают год математики. Инициатором является Федеральное министерство образования и науки.
2008 год также был годом математики и мы сегодня отмечаем это событие.
Почему именно математике уделяется такое внимание учёных ,министер-ства образования,а также многих интеллектуалов,чем она заслужила такое внимание.
Такое внимание уделяется математике потому,что она является фунда-ментальной наукой и без знания математики практически невозможно развитие ни одной науки,которая использует методы количественной оценки.А для того,чтобы наука была эффективной,необходимы коли-чественные оценки,а также методы их строгого построения.
Математика позволяет обобщать закономерности во всех прикладных науках,она позволяет проводить и углублять изучение различных сложных явлений, если математичекая модель явления составлена правильно. Од-нако это возможно только при глубоком знании математики.А предста-вление законов природы в виде математических соотношений позволяет прогнозировать сложные явления,происходящие в природе, экономике, машиностроении, строительстве, медицине,биологии,не говоря о таких фундаментальных науках,как физика, современная информатика, кибер-нетика и др.науки,которые без знаний математики даже не могут быть представлены.Вообще,сегодня нельзя заниматься никакой фундамен-тальной и даже естественной наукой без знаний математики.
Математика является в полном смысле этого слова самой «честной» наукой.В математике нельзя лгать,нельзя подкупать,протежировать или применять другие методы,чтобы «протолкнуть» неверные,ошибочные идеи.Каждое серьезное открытие в математике,как ни в одной другой науке,не теряет своего значения на протяжении многих веков и даже тысячелетий,сохраняются имена создателей какой бы национальности и какому народу они не принадлежали Например,геометрия Эвклида имеет возраст более 2300 лет и никто никогда не претендовал на её открытие. Наоборот,её развитие привело к понятию евклидова пространства, эвклидова метрического пространства.И если кто-нибудь посмел бы присвоить это открытие,то получил бы серьёзный отпор математиков .
Математика как наука построена на строжайшей логике,поэтому она способствует развитию строгого логического мышления,необходимого в любой творческой деятельности,она способствует становлению творческой
1

личности.
Математика является одной из самых старейших наук и возникла она в виду необходимости количественного сравнения предметов в торговле,
землеведении, отсчёте времени.
Рассмотрим вкратце историю математики.
Аристотель,4-й век до н.э.показал,что развитие математики может быть основано только на строжайшей логике.Эвклид из Александрии в том же веке опубликовал свою главную работу «Элементы»,которая до 19 века считалась классической работой. Там он сформулировал 5 постулатов, которые легли в основу его геометрии. Он был последователем Пифагора, того самого Пифагора,который установил соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике,которое порой с немалым трудом исполь-зуют даже студенты факультета информатики.
Математикой занимались в средние века многие учёные,но сравнитель-но быстрое развитие математики произошло в 17 веке и связано с именами таких учёных как Ньютон,Тейлор, Деламбер, Декарт,Ферма, Лопиталь, Муавр, Стирлинг, Лейбниц.С этими именами многие из вас знакомы по разделам математики,изучаемым в школах,гимназиях и институтах.
Ньютон разработал основы дифференциального и интегрального исчи-сления,но он больше знаком нам по биному Ньютона. Тейлор и Деламбер знакомы нам по степенным рядам,на которые разлагаются функции.Декарт - построением прямоугольной системы координат,Лопиталь правилом, позволяющим вычислять неопределённости, Стирлинг своей более про-стой формулой,позволяющей вычислять факториалы больших чисел.
Отметим заслугу Ферма (начало XVII века).По образованию он был юристом и работал по специальности.В свободное время он занимался теорией чисел и результаты своих исследований записывал на полях книг по юриспрунденции.
Один раз на полях одной из книг он сформулировал простую по формули-ровке теорему о том,что сумма двух целых чисел одинаковой степени рав-на целому числу в этой степени только для степени равной двум и одному. Для всех более высоких степеней,чем два это невозможно и дописал,что он может это несложно доказать,но на полях нет места. Эта теорема была названа большой теоремой Ферма. На протяжении более,чем трех столетий самые выдающиеся математики пытались доказать эту теорему и всё было безуспешно.При этом были разработаны многие важные разделы матема-тики.
И лишь в конце прошлого столетия английскому математику Андре Вильзу удалось её доказать и в 2004г. на всемирном когрессе математиков, проходящем в Берлине,ему за это доказательство была вручена высшая награда по математике .
Следующие два века 18 и 19 ознаменовались бурным развитием матема-
2

тики.Это связано с такими известными именами,как Крамер, Бернулли, Якоби, Коши, Дирихле,Эйлер,Гаусс, Риман,Веерштрасс,Фурье,Дедекинд, Кантор.
Каждый из них сделал огромный вклад развитие математики,который
вошёл в учебники и широко используется в прикладных науках.
Назову некоторые из их работ,которые входят в программы гимназий и вузов.Крамер дал решение систем линейных уравнений с помощью дерми-нантов, которое широко используется на практике.Бернулли при анализе колебаний струны представил функцию колебаний в виде тригонометриче-ского ряда,тем самым положил начало частотному анализу,который по-лучил своё развитие в работах Фурье.
Интересно отметить,что спустя почти полтора столетия в 30 годы прош-лого века среди ведущих советских учёных связистов велись нешуточные споры о том,что это лишь абстрактная теория и она не отражает процессы в реальных системах связи.Но математика в который раз доказала свою силу.
Сегодня частотный Фурье-анализ лежит в основе расчёта любых систем связи и ни у кого не вызывает сомнений.Гаусса мы знаем как исследо-вателя случайных процессов,его знаменитая кривая нормального распреде-ления была даже напечатана на 20-ти марочной купюре ФРГ.Эйлер внёс большой вклад в теорию комплексных чисел,всем известна формула Эй-лера,связывающая комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.Веерштрас доказал основную теорему алгебры о том,что полиномы n-ой степени имеют столько же корней.Дедекинд и Кантор внесли фундаментальный вклад в теорию чисел.Они обосновали суще-ствование иррациональных чисел и тем самым поставили окончательную точку в теорию числовых множеств.
Математики конца 19 и начала 20 века – это Гильберт,Хаусдорф,Курант, Александров, Банах,Колмогоров,Кляйн,Лидерман,Марков, Минковский, Чебышев,Винер.Они внесли огромный вклад в развитие различных раз-делов математики,которые позволили решать многие задачи в прикладных науках,в частности, в физике,информатике,кибернетике.
Я сделаю только одно замечание о Гильберте.В 1900г. в Париже он сде-лал доклад,в котором сформулировал 23 актуальнейшие проблемы мате-матики.С большим напряжением за сто лет до сегодняшнего дня полно-стью решены только 17.Трудно себе представить,какой нужно обладать научной интуицией,чтобы сформулировать такие проблемы и увидеть,к какому решению они приведут.Это доступно только математикам.
В заключении краткого исторического обзора становления математики следует сказать,что сделать полный обзор в одном докладе нет никакой возможности.Однако наш доклад обладал бы серьёзным недостатком,если мы ничего не сказали бы о немецкой математической школе.
3
В конце 19 столетия и вначале 20 немецкая математическая школа была ведущей в мире и в ведущих математических центрах Германии учёные евреи играли главные роли.Оказалось,что больше всего еврейских учёных работало в городах,где еврейская жизнь с давних пор велась интенсивно. Это были Берлин и Гёттинген,Бонн и Франкфурт-на-Майне,Кёнигсберг и
Гейдельберг. Так на международном математическом конгрессе 1904г.
мировую математику представляли в основном евреи такие как Герман Минковский,Артур Шёнфлис,Мориц Кантор,Феликс Хаусдорф и др.Без евреев-математиков невозможно было представить себе научную жизнь Германии первой трети ХХ века так было отмечено на математическом конгрессе в Берлине уже в 1998г.
После объединения Германии в 1871г.,когда евреи получили равные права,у еврейской молодёжи был едиственный девиз «Подъём посред-ством образования».Именно в этом ,можно сказать поголовном, стрем-лении к знанию,поддерживаемом многовековой еврейской традицией,
лежало объяснение небывалых успехов еврейских учёных.
К сожалению,наша современная еврейская молодёжь в своём боль-шинстве забыло об этой традиции еврейского народа или её не знает.
Недавно представленная выставка о немецких математиках-евреях по-казала,что нацистская диктатура из-за преследования учёных евреев- мате-матиков,без которых невозможно было себе представить научную жизнь Германии первой трети 20 века,полностью уничтожила ведущие позиции Германии по математике в мире.Сегодня никто не может сказать, вернёт ли Германия себе былую славу в математике.Многие факты говорят о том,что это невозможно и,в первую очередь,из-за существующей методи-ки её преподавания,которая также является следствием уничтожения ма-тематических школ фашистской диктатурой.
Знаменитый Давид Гильберт,который был «чистым» немцем и по-рядочным человеком на заданный ему в 1941г.министром науки фашист-ской Германии вопрос: «Как развивается математика после изгнания мате-матиков-евреев» кратко ответил: «Нет евреев-нет математики».
В основе развития математики во всех странах стояли умнейшие люди своей эпохи, которые навечно вошли в историю науки,их учения и имена вошли в учебники и почитаемы всеми,знающими,какой вклад они сделали в науку.
Причём хочу дополнить,что так было почти во все направлениях есте-ственных наук.До фашистской диктатуры евреи составляли только один процент населения Германии,а среди Нобелевских лауреатов Германии их было около 40%,т.е. в среднем в 40 раз больше.
К сожалению,сегодня можно даже среди студентов,изучающих матема-тики, услышать такие рассуждения.Зачем эти люди,великие умы,развивали именно математику- математика по их мнению это лишь абстрактная игра
ума.Нам математика нужна,рассуждают они, для того, чтобы её «проско-
4
чить» (сдать).Они,как и многие другие,совершенно не представляют силу математики как двигателя науки и прогресса человечества.
Приведу несколько примеров таких «абстрактных» игр и курьёзов и к чему они привели спустя многие годы.Они тоже отражают историю.
В XVI веке при решении квадратичных уравнений математики стол-кнулись со странной ситуацией.При нахождении решений получались
числа,состоящие из двух частей:одна часть представляла обычное число,а другое число представляло квадратный корень из отрицательного числа. Все знали,что любое число в квадрате даёт положительное число,а здесь корень из отрицательного числа.Какое-то колдовство.Эти числа поэтому
назвали мнимыми.
Однако существование мнимых чисел пришлось признать.Вместе с ре-альной частью они образовали множество так называемых комплексных чисел.Многим казалось,что комплексные числа есть математический аб-страктный «фокус» и они никогда не найдут применения при описании реальных процесов.
Но вот в XIX веке был открыт переменный ток, изменяющийся синусо-идально во времени. Переменный ток имеет ряд существенных преиму-ществ по сравнению с постоянным (в частности,легко преобразуется) и широко используется всюду,где можно его применить (в промышленно-сти,в быту и т.д.).
И спустя почти 3 века оказалось,что расчёт цепей переменного тока воз-можен только с помощью комплексных чисел и «курьёзная»мнимая часть отображает фазовые сдвиги в цепях переменного тока,знание которых абсолютно необходимо.
В начале XIX века знаменитый француский математик Лаплас разрабо-тал совершенно абстрактную математическую теорию операционного ис-числения,которая получила название интегрального преобразования Лап-ласа.С помощью этого преобразования линейные диференциальные урав-нения можно преобразовывать в алгебраические уравнения,что существен-но упрощает их анализ и решение.
Спустя почти 100 лет, в первой половине XX века,когда стали разви-ваться телевидение,радиолокация и,наконец,компьютерная техника, кото-рая реализуется,в основном,с помощью радиоэлектронных импульсных релаксационных схем.Оказалось,что при анализе,расчёте этих схем необ-ходимо применять именно операторный метод,разработанный Лапласом.
В 60-х годах прошлого столетия была разработана на базе преобразова-ния Лапласа завешённая теория импульсных схем,которая позволила оп-тимизировать их и затем выполнить в микроминиатюрном исполнении в виде современных интегральных схем-чипов.Во времена Лапласа ещё ни-кто не подозревал даже о возможности осуществления радиосвязи,тем более о каких-то электронных импульсных схемах-чипах.
Остановимся ещё на одном актуальном для нас сегодня примере мате-
5
матической абстракции,которая опять-таки связана с Ферма.В 30-е годы XVII века он сформулировал свою малую теорему,которая касается свойств простых чисел.Через 350 лет во второй половине XX века оказа-лось, что эта теорема является основой криптографии,науки о кодировании и декодировании,имеющей основополагающее значение в современной
теории информации.
Вначале XIX века английский математик Буль разработал алгебру логи-
ки, которая получила название булевой алгебры.Почти полтора века она не была востребована и считалась только абстрактным произведением чело-
веческого ума.Сегодня она лежит в основе теории информации и студенты информатики её изучают с первого семестра,а все математические преоб-разования,которые осуществляет компьютер,основаны на булевой алгебре.
Приведём ещё один пример роли математики в развитии не только одной из отраслей наук,но цивилизации в целом.
В середине XIX века английский математик Кларк Максвелл вывел уравнения для описания свойств электромагнитного поля,которое было открыто Фарадеем.Из решения этих уравнений следовало,что существуют электромагнитные волны,которые могут распространяться в пространстве.
Интересна реакция учёных того времени.
Они говорили, «это великолепное произведение математического искус-ства,блистательная игра формул и остроумный курьёз».Ничем не отлича-ется от рассуждений ныне некоторых студентов,но сегодня не XIX,а XXI
век.
Спустя примерно 30 лет Генрих Герц (он был наполовину еврей) после долгих экспериментов построил генератор и приёмник электромагнитных
волн.Он также доказал,что они не только распространяются в простран-стве, но и отражаются от проводящих предметов (в будущем это привело к радиолокации), интеферируют, дифрагируют,поляризуются ( в будущем это было использовано в телевидении,все телевизионные антенны направ-лены и поляризованы горизонтально или вертикально для повышения помехоустойчивости передачи). Электромагнитные волны фокусируются. Сегодня это спутниковое телевидение, параболические антенны «тарелки» для волн сантиметроврго диапазона..
Он также определил скорость распространения волн,которая равна ско-рости света,тем самым доказал электромагнитную природу света.
Все это привело к беспроводной связи,а это изменило наш мир. Радио-связь,телевидение,радиолокация,спутниковая связь,спутниковая навигация и многое,многое другое. Каждый это знает хотя бы потому,что он может общаться в любой момент с кем угодно на любом континенте при помощи Handy,ориентироваться в пространстве с помощью навигаторов, пользо-ваться удобными беспроводными телефонами.
Всё это изменило лицо современной цивилизации.Вот к чему привёл этот «остроумный математический курьёз» Максвелла.
6
Приведём ещё несколько примеров,относящийся уже к XX веку.
Один из них касается физики,который изменил миропонимание человека и мир в целом.В 1902г.Хендрик Лоренц (второй год вручения Нобелевских премий )получил Нобелевскую премию за исследования влияния магнети-зма на излучение.Лет за 10 до этого он чисто математически вывел ряд
формул,которые показывали,как меняются координаты,масса и время от-счёта движущегося тела относительного движущегося наблюдателя, кото-
рые вошли в науку как преобразование Лоренца.
Так это и было математическим преобразованием до 1905г.,пока мо-
лодой Эйнштейн в 1905г. чисто математически разложил полученное Ло-
ренцом выражение для энергии в ряд по степеням скорости и первый член этого ряда оказался известным теперь всему миру выражением, показыва-ющим, что энергия равна массе,умноженной на квадрат скорости света.
Как никто другой,Эйнштейн поверил,что это чисто математическое со-отношение отображает реальный мир и пришёл к выводу,что масса может преобразовываться в энергию и наоборот.Я не буду останавливаться на том,что это было в Германии принято как «еврейская» физика.Отметим только то,что спустя 33 года в 1938г.физик и химик,еврейка Лиза Мейтнер, будучи в изгнании в Дании численно подтвердила этот закон при распаде урана, который открыл новую эру человечества-использование атомной энергии.
Она об этом написала письмо своему немецкому коллеге химику Гану, он опубликовал статью без Мейтнер и в 1944г. получил за это открытие Нобелевскую премию.Сейчас его этот некрасивый поступок полностью разоблачен и осуждён.
Второй пример,относящйся к физике.Американский учёный,математик
Пауль Дирак открыл некоммутативную алгебру для описания процессов в квантовой механике и на основании всего-навсего решения выведенного им уравнения показал в 1928г.,что имеется такое решение этого уравне-
ния, которое говорит о том,что должна существовать частица,сходная с электроном,но заряженная положительно и он назвал её позитроном.
Спустя несколько лет оказалось,что такая частица реально существует, она была экспериментально открыта и Дирак в 1933г.получил Нобелев-скую премию по физике.Это было одно из доказательств фундаменталь-ности математики как науки,отображающей реальный мир.
Советский математик,еврей Л.Канторович в 1932г.разработал строгую
теорию линейной оптимизации для рекомендаций по экономному разре-занию досок.Спустя 30 лет эта математическая теория получила широкое распространение в экономике и он один из первых получил Нобелевскую премию по экономике в 1976г.за эту работу.
А вот пример,относящийся к совсем не математической науке - к био-логии.В 1908г.двое учёных (еврея):Илья Мечников и Пауль Эрлих полу-чили Нобелевскую премию по медицине и физиологии за работы по им-
7
мунизации.Илья Мечников родился на Украине и после окончания школы поступил на физико-математический факультет харьковского универси-тета.Там,естественно,он изучил отношения между множествами и в, част-ности,изоморфизм множеств.Изомофизм-это в определённом смысле схо-жесть различных множеств.
Работая в дальнейшем в области сравнительной эмбриологии,он заме-
ил,что на срезах личинок морской звезды образуются некоторые подвиж- ные клетки,которые стремились уничтожить окружающие чужеродные тела. Он предположил,что эти клетки защищают организм и как математик
по закону изоморфизма перенёс это на все живые существа.
Таким образом была открыта иммунология, значение которой сейчас не
нужно доказывать и которая сейчас лежит практически в основе всех ме-тодов лечения.И если человек имеет слабую иммунную систему,то его дни сочтены.Спид-это болезнь иммунной системы (синдром иммунного дефи-цита).
Его теоретические догадки не были признаны на Украине,его обвиняли зоологизме-применении зоологии к человеку и ему пришлось покинуть Украину и перехать во Францию.Там он стал заместителем директора по научной работе во всемирно известном институте Пастера и никогда больше не посетил Россию.Вообще,Украина потеряла 4-х Нобелевских лауреатов (все евреи) и не вырастила ни одного.
Завершить этот краткий исторический обзор мне хотелось бы приме-ром из собственного опыта.
То,что мне кроме политехническго института удалось окончить матема-тический факультет университета,позволило мне глубоко разработать те-орию открытого мною в 1955г. нового класса импульсных схем-многофаз-ных мультивибраторов,что привело к пониманию их работы в наносекун-дном диапазоне и к их внедрению. Для их анализа я применил оператор-ный метод Лапласа,который чисто теоретически,а затем на эксперимен-
те выявил многие свойства этого класса схем и позволил мне в достаточно молодом возрасте защитить кандидатскую (доктор-инженер в немецкой интерпретации) и докторскую (доктор habil) диссертации.
Кроме того,знание математики позволило мне разработать теорию уп-равления импульсными схемами и определить предельные частотные воз-можности управления,что необходимо для использования импульсных ге-нераторов ,в частности,в компьютерах в диапазоне предельно высоких частот.Всё это было отображено в моих статьях и монографиях.
Как пример,могу отметить,что ещё в 1972г. я со своим аспирантом пока-зал,что импульсные генераторы на кремневых транзисторах могут рабо-тать до частот 3-5 ГГц.И лишь сравнительно недавно такая частота
(3,6 ГГц) была достигнута в процессорах самых современных компьюте-ров. Дальнейшее увеличение частоты импульсных генераторов,как мы
показали,принципиально невозможно.Увеличение скорости работы ком-
8
пьютерного процессора сегодня достигается уже не увеличением частоты процессора,а увеличением числа процессоров (напр. 2 процессора).
Мне удалось создать научную школу и под моим руководством защи-тили диссертации 14 аспирантов и соискателей.Если кто-то заинтересует-ся моими работами,то в интернете Google наберите на русском языке:
«Я.Е.Беленький» и интернет покажет вам порядка 20-30 моих работ.
Я предполагаю,что сегодня схемы многофазных мультивибраторов ши-роко применяются в современных жидкокристаллических мониторах в ка-честве схем развёртки.Однако добраться до схемного решения я никак не могу. Всё запатентовано и,возможно,даёт немалую прибыль владельцам
патентов.Наконец,все полученные мною результаты в электронике и
теории измерений стали возможными лишь благодая глубоким знаниям математики.
В этом плане хотелось бы отметить,что измерительный прибор сего-дня –это первичный датчик измеряемого параметра,устройство преобразо-вания сигнала в цифровую (дискретную) форму и компьютерная схема, производящая только математические преобразования полученного сиг-нала.Всё это полностью изменило такую науку как измерение,которая ле-жит в основе всех естественных наук.Любая естественная наука не сущест-вует без измерений,в том числе такие науки как физика,информатика, ме-дицина и многие,многие другие.Эту мысль ещё в конце XIX века высказал Менделеев: « Без измерений нет науки и производства,торговли и транспорта »,можно добавить «и без математики».
Однако вернёмся к чистой математике.Один из крупных математиков, оценивая знания человечества по математике,так говорил: «Современное человечество представляет караван, который растянулся во времени на два тысячелетия и основная масса людей своими знаниями по математике на-ходится в начале пути,в эпоху до рождества Христова,меньшая часть в средневековьи,малая часть в XVIII-XIX веке (это то,что изучается в гим-назиях и институтах) и единицы знакомы с современной математикой XX века».
Добавлю к этому,что это в век информатики,кибернетики, физики, нано-
технологии,где математика играет фундаментальную роль в их развитии.
И в заключение ,чтобы доказать правоту высказывания о караване приве-ду для примера 3 проблемы из 23-х,сформулированные Д.Гильбертом на математическом конгрессе в Париже в 1900г.
1. Все ли непрерывные группы являются группами Ли – решена,
2. Проблема Кантора о мощности континиума - нет общности в решении,
3.Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произволь-ную алгебраическую область рациональности - не решена.
Вероятно,только совсем-совсем немногие специалисты-математики понимают суть этих проблем.
Как научный консультант Образовательного центра не могу не затро-
9
нуть ещё проблем,непосредственно касающихся преподавания математики в немецких школах.Напомним,что математика предъявляет особые требо-вания к процессу её усвоения.Как наука,построенная на основе строжай-шей абстрактной логики,она требует определённых усилий для усвоения и,в первую очередь, непрерывности в её познании,чтобы не прерывалась логика её построения.Если эту логическую непрерывность нарушать,то дальнейшее усвоение материала будет носить формальный характер без глубокого понимания.
К сожалению,многие это не понимают и думают,что в любой момент
можно оказать в любом разделе математики «скорую помощь» и все
трудности в данном разделе и дальше будут преодолены.
Это заблуждение,которое приводит к тому,что материал усваевается «алгоритмично»,как правило,по памяти,без понимания и через очень короткий срок он безвозвратно забывается и усилия,затраченные на его
запоминание,становятся бесполезными,как и такое обучение.
Под термином «алгоритмическое» усвоение материала мы понимаем его усвоение без понимания,как это происходит в компьютере.В него вво-дится правило,по которому он ,не «раздумывая»,ведёт вычисления.
Его « не интересует»,подходит ли это правило для решения конкретной задачи,он не в состоянии провести анализ решения,оценить его правиль-ность.Это фактически механическая работа по определённому введеному в него правилу,осуществляемая электронными схемами.И конечно, компью-
тер не в состоянии разработать нечто новое вне рамок алгоритма.
Однако самое главное отрицательное следствие такого обучения сос-
тоит в том,что алгоритмическое усвоение материала лишает возможности
развивать у ученика его мыслительные способности.
Использование карманных вычислителей (Taschenrechner) приводит к тому,что учащийся не задумывается о правильности ответа,не даёт ему
смысловой оценки и при ошибке в наборе задачи на вычислителе может получить совершенно «дикий» с точки зрения задачи ответ,которому полностью доверяет.
В уме он не в состоянии даже приблизительно оценить порядок резуль-тата.Некоторые ученики даже в 11-13 кл. твёрдо не знают элементарной
таблицы умножения.Для учеников и студентов представляют почти непре-одолимые трудности деление десятичных дробей и определение порядка результата деления.
Многие ученики и даже студенты,когда делаешь попытку им глубже не формально объяснить ту или иную задачу,убедительно просят им не объя-снять,а помочь решить только контрольную работу.Они утверждают, что понимание им не нужно,никто не требует его.Непонятно,для чего они те-ряли время для изучения математики в течение предыдущих классов.
Всё это является результатом неосмысленного «алгоритмического»
метода обучения.Можно было бы ещё указать ряд недостатков в препо-
10

давании математики.
Естественно,при такой подготовке на факультетах естественных наук
у студентов возникают огромные трудности в усвоении высшей матема-тики,физики,электротехники,информатики и др.предметов.
Существование недостатков в методике преподавания фундаментальных наук доказывают и последние места в Европе по PISA –тесту,и последние
места на международных олимпиадах школьников по математике.
В заключении я хотел бы сказать нашим молодым коллегам:гимназистам и студентам.Если они хотят стать уважаемыми специалистами в любой отрасли знаний,а тем более научными сотрудниками,то глубокое знание математики в пределах учебных программ абсолютно необходимо.
Дополнение редактора.

Матема́тика (от др.-греч. μάθημα — изучение, наука) — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов[1]. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов[2]. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы[3]



11