(53)
Дабы плавно и естественно подойти к картине того, каким образом память или душа материи вообще и коллективное сознание человечества в частности, могут быть встроены в расслоение Клиффорда-Хопфа, для начала полезно обратить внимание на «мистический» компонент всей этой истории.
Как уже говорилось, согласно документальным свидетельствам, открытие Хайнца Хопфа приходится на 1931 год. Именно в этот год Хопф переехал в город Цюрих, где в местной высшей технической школе ETH принял математическую кафедру, которую до него возглавлял Герман Вейль (один из великих математиков XX века, среди прочего первым выдвинувший идею калибровочных взаимодействий в качестве базового принципа для единого описания всех сил в природе).
Кафедру физики цюрихского ETH в ту пору уже возглавлял Вольфганг Паули. А в тот же 1931 год произошло его знаменательное знакомство с известным психиатром, отцом аналитической психологии Карлом Густавом Юнгом, что положило начало их дружбе и сотрудничеству на всю остальную жизнь.
Третьим же примечательным событием 1931 года была публикация Полем Дираком, одним из основоположников квантовой теории, очередной статьи под названием «Квантовые сингулярности в электромагнитном поле». Эта статья занимает в творчестве Дирака особое место по той причине, что в ней ему удалось с помощью весьма изящной математики дать возможное объяснение для одной из фундаментальных загадок физики – квантования электрического заряда.
В качестве элегантного решения этой проблемы выступила предположенная Дираком гипотетическая частица под названием «магнитный монополь», впоследствии более известная как монополь Дирака. Суть гипотезы заключалась в том, что если бы удалось отыскать частицу, имеющую не два магнитных полюса, а только один, то факт наличия у частиц минимального электрического заряда, меньше которого не бывает и которому кратны все остальные, получил бы простое и естественное объяснение.
Логика и математика этой аргументации выдающегося теоретика выглядели красиво и убедительно, поэтому «отлов» магнитного монополя Дирака на многие десятилетия стал одной из важных целей экспериментальной физики. Но несмотря на все напряженные усилия исследователей, увы, обнаружить этот объект в природе не удается вплоть до нынешних дней…
Для всякого человека, чуждого мистическому мировосприятию, в трех перечисленных и явно независимых друг от друга событиях 1931 года не просматривается абсолютно никаких взаимосвязей. Ученые только и делают, что пишут статьи (работа у них такая), люди постоянно переезжают с места на место в поисках лучшей доли, а приехав на новое место, непременно с кем-то знакомятся… Короче говоря, что тут вообще может быть примечательного и неслучайного?
Для того же, чтобы научиться видеть скрытый смысл и взаимосвязи во внешне разрозненных событиях, полезно вспомнить о концепции Юнга, названной им «синхроничность»[17]. Такого рода синхроничности, по мнению Юнга, выступают в качестве своеобразных узлов, которые на некоторых иных уровнях сознания связывают вроде бы независимые события и структурируют собою общую ткань реальности.
Конкретно в условиях рассматриваемого здесь примера пора отметить, что на сегодня, согласно результатам теоретической физики, все так же неуловимый, но при этом ставший еще более желанным объект под названием «магнитный монополь» – в образе топологического дефекта-вихря – как бы сфокусировал в себе важнейшие открытия и по сию пору нерешенные загадки на границе физики и топологии.
В математике монополей (Дирака) обнаруживаются, в частности, эффекты спонтанного нарушения симметрии и механизм Хиггса, нетривиальные расслоения (Хопфа) и особые решения калибровочных уравнений Янга-Миллса. Ну а также, если присмотреться, и чрезвычайно взволновавшие в свое время Вольфганга Паули идеи о «раздвоении и уменьшении симметрии», открывшие ему новый взгляд на природу и на неразрывную связь материи с сознанием.
Дополнительным штрихом к картине, показывающей, насколько тесно переплетены все эти вещи, может служить и не так давно обнародованная история о том, что Вольфганг Паули первым вывел формулы, которые ныне известны под названием калибровочных уравнений Янга-Миллса]2[. Но только Паули, знаменитый своей научной щепетильностью, не стал публиковать эту работу, поскольку видел в ней серьезнейшие противоречия с уже известными физикам фактами.
Что же касается Янга Чженьнина и Роберта Миллса, то они в ту пору (1954) были еще «молодыми теоретиками, имеющими право на глупость», по известному выражению П. Эренфеста[67]. Несмотря на откровенное недовольство Вольфганга Паули, выраженное им авторам лично на одном из предварительных обсуждений, Янг и Миллс обнародовали-таки свою – очевидно сырую и недоработанную – теорию. Чем положили начало чрезвычайно плодотворному и далеко еще не исчерпанному поныне направлению современной физики.
Для того, что понять, насколько тесно эта теория связана с геометрией и топологией расслоенных пространств, понадобилось еще свыше 20 лет. У историков науки имеются непосредственные воспоминания на этот счет от Янга Чженьнина, озвученные им на одной из юбилейных конференций.
В те годы, когда теория калибровочных полей только зарождалась, Янг и Миллс были озабочены исключительно уравнениями, а об их геометрическом истолковании они даже не задумывались. Лишь два десятка лет спустя Янг всерьез заинтересовался топологической интерпретацией их теории и пригласил в университет, где тогда работал, видного специалиста-математика Джима Саймонса – чтобы тот прочел для физиков-теоретиков серию лекций о расслоенных пространствах.
Узнав и постигнув массу нового, физики были «вне себя от счастья», по выражению Янга, когда поняли, что нетривиальные расслоения в топологии – это именно то понятие, которое позволяет им избавиться от известных трудностей в теории монополей Дирака. Особо же физиков поразило, что «их» калибровочные поля в действительности давно известны математикам – под названием «связности на расслоенных пространствах». Но только математики изучали эти вещи чисто абстрактно, без всяких идей об устройстве физической реальности.
Обсуждая как-то раз это удивительное открытие с Чжэнем Шэншэнем (в англоязычной транскрипции более известным как Chern, т. е. Черн), выдающимся топологом XX века, Янг спросил его: «Совершенно непонятно и загадочно, как вы, математики, смогли придумать все это на пустом месте»? На что Чжэнь-Черн немедленно возразил физику так: «Нет-нет, эта концепция отнюдь не выдумана – она естественна и реальна»…]3[
(54)
Оперевшись на авторитетное свидетельство математиков – о «естественности и реальности» расслоенных пространств – самое время перейти к идеям о том, как эта универсальная конструкция соотносится с формой вселенной.
Для начала полезно рассмотреть, каким образом в структуре пространства одновременно присутствуют столь разные, казалось бы, конфигурации, как тор и сфера. Наглядно увидеть это, ясное дело, для человека гораздо проще на примере 2-мерных поверхностей в 3-мерном пространстве.
С помощью математических программ и компьютерной графики, в частности, специалистами показано, каким образом 2-мерный тор путем гладких топологических преобразований (именуемых гомотопными) превращается через сжатия, перетяжки и растяжения в двухслойную риманову сферу.]4[
Сетка ячеек, нанесенная на поверхность тора и дважды воспроизводящая общеизвестную конфигурацию футбольного мяча, присутствует тут, конечно же, не случайно. Во-первых, она позволяет более наглядно увидеть процесс деформации, демонстрирующий топологическую эквивалентность двух разных структур.
Во-вторых, как показывают молекулы фуллеренов в природе, такая конфигурация является оптимальной с точки зрения минимизации энергии на сферической поверхности. Ну и в третьих, самое главное, у науки на сегодняшний день имеется уже немало свидетельств тому, что именно такая конфигурация лежит в основе структуры вселенной – как сети ячеек, образованных суперкластерами галактик.[6D]
Формулируя более аккуратно, следует говорить, что имеющиеся у науки данные наблюдений позволяют предполагать для космоса такую форму, которая именуется додекаэдрическим пространством Пуанкаре. Упрощенной моделью такой конфигурации является мяч, сшитый из 12 кусков в форме правильных пятиугольников. Или, иначе, раздутый до сферы правильный многогранник-додекаэдр.[60]
Отчетливые признаки именно такой формы космоса обнаружила группа Ж. Люмине в картах космического фонового излучения от спутника WMAP[62]. А польские исследователи из Торуньского университета выявили на той же карте 6 пар совпадающих кругов, еще более определенно указывающих на признаки замкнутого пространства вселенной в форме додекаэдра.[63]
Дабы стало понятнее, что это важное (но почему-то замалчиваемое) открытие науки XXI века никак не противоречит «классической» форме футбольного мяча из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, достаточно уточнить, что и в 32-ячеистом варианте имеются те же самые 6 пар «кругов», что и у додекаэдра. А также вспомнить о двухсторонней топологии сферы космоса и о физике образования конвективных ячеек в сверхтекучих жидкостях.[65]
Всепроникающее «поле Хиггса», согласно современным научным представлениям, по свойствам можно уподобить сверхтекучей жидкости. А важнейшая особенность таких супержидкостей, как известно, это самопроизвольное формирование дискретных вихревых ячеек при вращении среды.
И если с одной стороны сферы образовались 12 ячеек додекаэдрической структуры, то с другой стороны – где 20 вершин многогранника становятся центрами вихревой конвекции – естественным образом формируется икосаэдр из 20 ячеек. То есть правильный многогранник, являющийся дуальным партнером додекаэдра.
Ну а в конечном итоге, когда вся эта конфигурация стабилизируется к состоянию с минимальной энергией, на каждой из сторон сферы – внутри и снаружи – оказываются одинаковые сетки из 32 ячеек футбольного мяча, сдвинутые относительно друг друга конвективными процессами. Эти вихревые процессы как бы «срезали» энергозатратные вершины у додекаэдра и икосаэдра, наложив со сдвигом обе структуры друг на друга и в итоге породив симметричную, энергетически оптимальную конструкцию…
Если ключевая роль (топологических) вихревых эффектов в картине формирования ячеистой структуры космоса стала более-менее понятна, то самое время напомнить вот что. Все приводимые здесь рассуждения – это, конечно же, никакие не доказательства и, тем более, не истина в последней инстанции.
Можно считать, что все это представляет собой попытку продемонстрировать – с помощью наглядных картинок и упрощенных идей – одну действительно важную вещь. То, что конструкция под названием расслоение Хопфа очень удачно подходит на роль универсального геометрического объекта или принципа, позволяющего сводить в единое и органичное целое множество разрозненных и плохо стыкующихся фактов, установленных наукой относительно окружающего нас мира.