Ему не по себе… Слишком уж играли на его нервах. (П. Боборыкин)

Еще в древности люди играли на струнных музыкальных инструментах. Струна по латыни – «нервус». Позже врачи узнали о существовании в организме нервов. Нервы похожи на струны, римляне их так и назвали. Потому у нас так много выражений, касающихся нервов, имеют «музыкальный» уклон: играть, расстроенные, натянутые, слабые…
Значение играть на нервах очевидно: «намеренно раздражать, нервировать кого-либо».