Это я про пересечения векторов в разноразмерных пространствах. То доказательство верно, но не интуитивно. А вот его интуитивная основа. Точка = нуль вектор. Прямая - обычный, такой привычный вектор. И их пересечения. Что из этого получается?. Смотрим, вникаем. Точка с точкой могут пересечься, и тогда они совпадают. А могут и не пересечься. Причём способ совпадения один, а способов не совпасть - бесконечно много, неопределённо много. Это пустое множество пересечений. Нуль множество пересечений содержит в себе элемент нуль - пересечение по одной точке. Это нуль-мерное пространство.Пересечение нульмерных пространств может произойти только в нулевом измерении - точке. А не пересечься точки могут через любое другое, выше размерностью, пространство - неопределённое измерение - в принципе любое число их подходит! Кратчайший путь от одной точке к другой (в другое измерение!) - это прямая. То есть - вектор.

Пересечение прямой и точки - точка, что интуитивно понятно, и формула дает: 1+0-0=1 - это по прежнему одномерное пространство - прямая.

Пересечение двух прямых, проходящих через три различные точки - точка по построению, и по формуле: 1+1-0=2 - т.е. пересечение двух прямых по точке определяет плоскость - двумерное пространство. Пересечение по линии - 1+1-1=1 - дает совпадение размерностей, и линии совпадают - это одна и та же линия! Линии могут и не пересекаться (пересекаться по пустому множеству), причём нижняя граница определена - это плоскость (линии параллельны в одной плоскости), а вот верхняя - по прежнему остается не определенной - не пересечься линии могут через пространство какой угодно размерности. Причём трёхмерное пространство - следующее по рангу, в котором линии могут не принадлежать одной плоскости и не пересекаться.

Само же третье измерение конструируется так. Пересечение плоскости и линии по точке 2+1-0=3, или пересечение двух плоскостей по прямой 2+2-1=3. Две плоскости могут быть компланарны (параллельны в третьем измерении), и не пересекаться в три-пространстве, а могут не пересекаться через какое угодно более высокоразмерное пространство, не будучи в них параллельными. Следующее такое пространство - четырёхмерие.

4-пространство можно сконструировать так. 1+1+1+1-0=4 (четыре пересекающихся в одной точке прямые), 1+1+2-0=4 (две прямые и плоскость по одной точке, что эквивалентно предыдущей формуле, если учесть, что две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость), 2+2-0=4 (пересечение плоскостей в одной точке - что удивительно, но реально!), 3+1-0=4 (куб плюс прямая по одной точке, что то же удивительно), 3+2-1=4 (куб плюс плоскость по прямой - уже привыкли?), 3+3-2=4 (два куба по плоскости - стало банально!), 4+3-3, 4+4-4 дает совпадение 4-пространста по самому себе.

Все!!!