Тут стоит пояснить, что хотя математика и тяготеет к изучению абстрактных объектов, уровень абстракции может быть очень разный. Самая простая абстракция — это переход от «двух яблок», «двух камней» и т. д. к понятию числа 2; переход от «я повернулся боком», «камень повернулся боком» к понятию поворота на 90°. При этом манипулирование предметами заменяется на универсальные законы работы с числами (или с преобразованиями, или с чем-то еще).

Абстракция следующего уровня возникает, когда понимаешь, что правила обращения с числами 2, 3, 15 и т. д. по сути одинаковы. Все эти числа можно складывать, перемножать, для них работают переместительный, сочетательный и другие законы. Иными словами, все целые числа «играют по одним правилам». Поэтому часто полезно оперировать не с конкретными числами, а с новым математическим объектом — кольцом целых чисел. Аналогично, разные повороты предмета в пространстве являются элементами нового математического объекта — группы трехмерных вращений.

Третий уровень абстракции — это когда исчезает «осязаемость» элементов групп, колец, полей. Тут уже рассматриваются не конкретные группы вращений или иных преобразований, а просто абстрактные группы — совокупности элементов со строго очерченными свойствами. Здесь на первый план выходит то, какова структура группы, а не то, из чего она «состоит». Свойства всевозможных непротиворечивых математических структур, безотносительно к тому, где именно эти структуры возникают, изучает абстрактная алгебра.

Теория категорий предлагает подняться еще выше, на четвертый уровень абстракции. В ней изучаются уже не конкретные группы, а сеть математических взаимосвязей между разными группами. Аналогично, изучается сеть взаимосвязей между самыми разными типами пространств или между самыми разными кольцами. Более того, оказывается, что эти сети взаимосвязей (групп, полей, пространств и т. д.) — очень шаблонны. Между ними (между сетями!) можно установить параллели, и с помощью этих параллелей высокого уровня иногда удается решить очень трудные, но вполне конкретные задачи.