Математика подобна яме - чем больше из нее берешь, тем больше она становится. У меня вот, уже котлован получился. Попробую поставить фундамент.

Как мы считаем? "Это, это, да еще вон из той кучки щепотку!" "Первый, второй, другой, третий, четвертый, пятый..." Шутки - шутками, а чтобы разобраться во всех возможных способах счета, нужно как-то упорядочить все разнообразие подлежащих пересчету вещей, предметов и понятий! Нужно ИЗОБРЕСТИ порядок. Это было сделано настолько давно, что уже ни кто и не помнит, когда и кем была изобретена система счета, основанная на единице и сложении. Действительно, достаточно предположить равенство абстрактной "единицы" всему чему угодно в "одном" количестве - будь то шаги, дни, мамонты, или пресловутые пионеры и тетрадки из учебников моего детства, все, что нужно для того, что бы это все сосчитать, необходимо и достаточно предположить существование единицы (1), и ее способность складываться друг с другом (+) операция сложения (адитивность). Логическим и очевидным следствием этого изобретения становятся все натуральные (вещественные) числа: ряд 1,2,3,4...10,11,12...100,101,102,103... всем знакомый со школьной скамьи, и проблемы с ними связанные, которые известны далеко не всем! И с тех же школьных времен знакомая всем запись: "1+1=2". Прошу заметить, что не "11=2" и не "2А1&1" - ни какая другая запись, кроме "1+1=2" не признается как верная. Этому учат. Учат способу выражать свои мысли так, чтобы они были доступны для других. "1+1=2" это лишь форма, выражающая содержание. И форма условная, запись могла бы выглядеть как угодно, и, к стати сказать, знак равенства был придуман и введен в научный обиход лишь в XVI веке. До этого момента привычной нам записи не существовало!

Прошу обратить внимание на три момента. Первое: на аксиоматически введенную единицу; второе: на логически необходимую операцию сложения; третье: на условную договоренность об порядке и способе записи выражения.

Аксиоматичность единицы выражается в том, что она не "дана нам в чувственных ощущениях" - ее нет в природе. Сколь долго не ищите, не найдете единицу "саму по себе" как "вещь в себе", оторванной от ее вещественного воплощения - предмета или счетной величины; а так же то, что мы ее "изобрели", делает ее идеальным порождением разума.

Логика операции сложения помогает (просто обязывает по сути) упорядочить все натуральные числа по ранжиру: больше- меньше. И делает это путем присвоения очередного номера вновь полученному числу по правилу сложения единиц - 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4 и т.д. Вот это "и т.д." очень интересно. В нем кроется ключ к бесконечности натуральных чисел: к каждому предыдущему числу можно прибавить единицу, и получить следующее число. Эта операция рекурсивна (берется число, получившееся в результате вычислений в прошлый раз, подставляется в ту же формулу, вычисляется результат, и он в свою очередь становится следующим числом, подставляемым в вычисляемую формулу), и бесконечна (эту операцию можно повторить неограниченное число раз).

Условность записи сложения является общепринятой договоренностью (конвенциальностью), условность которой очевидна. Запись могла бы выглядеть как угодно! Об этом свидетельствует "Московский математический папирус" Древнего Египта, клинописные таблички с квадратными уравнениями из Месопотамии, Пиктограммы народа Майя.

Аксиоматичность, логичность и конвенциальность - это три кита любой философии. Нужно что-то изобрести и утвердить, показать логику работы с этим, и попутно договориться о способе записи излагаемых мыслей.

Логика работы с натуральными числами такова, что из уравнения 1+2=3 следует обобщение операции сложения: a+b=c. Вычислить сумму двух слагаемых не представляет труда. Гораздо интереснее, в смысле сложнее, придумать, как вычислить неизвестное слагаемое, если известно сумма: a+2=3! Ну это нам, в наш просвещенный век нанотехнологий, компьютеров и атомной бомбы, не представляется чем-то загадочным, но тем не менее, что бы обосновать свою собственную мысль, мне приходиться "плясать от печки". И так, что бы найти решение уравнения a+2=3, нужно воспользоваться логикой, и сделать предположение о наличии у сложения "обратной стороны", "зеркального близнеца" - вычитания: a=3-2, откуда a=1. Это не сложно, стоит только представить себе уже известное уравнение 1+2=3, и сопоставить значения чисел соответствующим местам формулы. Более запутанный случай, когда есть уравнение 3-5=b. Соответствующего ему примера на сложение, что то типа b+5=3, не встречается среди натуральных чисел!!! Ну, конечно же - это отрицательное число! Но до этого еще догадаться надо было! Например, вавилонские математики прекрасно умели решать квадратные уравнения, но решения с отрицательными значениями просто отбрасывали как не интересные, фиктивные, не имеющие смысла в системе натуральных чисел, только которую они видимо и знали. Множество отрицательных чисел тоже нужно было ИЗОБРЕСТИ! И для этого нужно было аксиоматически положить существование минус единицы: -1. Минус единица ни каким образом не выводится из множества положительных чисел. И даже не следует логически из операции сложения: уравнения типа b+5=3 в положительных числах не имеют решения! Нужно что-то новое, и этим новым становится -1. Только теперь можно утверждать, что b=-2. В некотором смысле можно сказать, что положительные и отрицательные числа зеркально отражены: ...-3,-2-1,0,1,2,3... И "зеркалом" является Ноль - число, то же долгое время жившее на птичьих правах, значение и значимость которого то же долго не признавалось и не было осмысленно в должной мере. Сейчас же Ноль по праву занимает место в пантеоне богов математики! Но ноль - не аксиома - он следствие логических операций сложения и вычитания: 1+0=1, 1-1=0, -1-(-1)=0, -1+0=-1. И тут я случайно, уже по привычке, ввел еще одну логическую операцию с числами - умножение: "-(-1)" - это ни что иное как "(-1)*(-1)". То есть "+1" и уравнение -1-(-1)=0 становится -1+1=0 более простым и понятным.

Умножение по определению - сокращенная запись сложения: 1+1+1+1+1=5 или 1*5=5. 2+2+2+2+2+2+2+2=16 или 2*8=16. Нужно сосчитать колличество складываемых ОДИНАКОВЫХ чисел, и записать через знак умножения само число и его колличество. Пока все просто и знакомо. Логика требует построения новой операции для нахождения решения уравнений типа ?*8=16 или 5*?=13, и появляется операция деления: 16:8=?, 13:5=? - опять же как зеркальный близнец умножения: ведь стоит только представить их в привычном порядке, и решение находится элементарно для первого уравнения (16:8=2). А вот над вторым приходится задуматься по серьезнее: нет целого числа ни положительного, ни отрицательного, удовлетворяющего данному уравнению. Нужно что-то придумывать? Ан нет! Незачем. Вполне достаточно, оказывается, лишь ДОГОВОРИТЬСЯ о новой форме записи числа: "13/5" Это число - УПОРЯДОЧЕННАЯ запись двух целых действительных чисел через знак дроби, и называют такие числа дробями, что не удивительно! :)

Выводить аксиоматически все правила арифметики не входит сейчас в мои планы - это очень просто и банально, но долго и скучно. Я задержусь еще только на одной особенности операции деления, и пойду дальше. Эта особенность - запрет для деления на ноль: a:0= ни чему не равно!!! Этот запрет можно попытаться осмыслить путем все более тесного приближения делителя к нулю: 1:1=1 , 1:0,1=10 , 1:0,001=1000... и т.д. То есть, чем меньше делитель, тем больше частное. При приближении делителя к нулю, частное стремится к бесконечности. При делители равном нулю - частное "совершает прыжок" через бесконечность действительных чисел, оно больше не выражается НИКАКИМ действительным числом. Есть досужее размышление, о том, что если делитель будет числом отрицательным, и так же будет стремится к нулю, но "слева", то есть со с строны отрицательных чисел, то частное стремиться к минус бесконечности, и этот "прыжок" означает "переход" от + к - и наоборот. То есть, что числовая прямая представляет из себя таким образом круг с бесконечным радиусом. Это не верно. Деление на ноль не имеет решения в натуральных числах, будучи "больше" или "меньше" бесконечности этих чисел! Частное от деления на ноль - это иная, отличная, не вещественная, и уж тем более не действительная величина!

Еще один логический шаг (не изобретение!), который мне необходимо проделать, что бы закрепиться на достигнутой высоте - это операция возведения в степень, которая по определению есть сокращенная запись умножения: 2*2*2*2*2*2=2^6=64 (сново само число и его колличество, упорядоченное операцией возведения в степень). Формальная запись a^b=c, требует ДВУХ обратных операций - "зеркальных близнецов": если не известно основание, то необходима операция вычисления корня, если неизвестен показатель степени - операция логорифмирования. И тут возникает новая проблема. Чему равно, скажем число "корень их двух"? Классический пример! Это число хотя и действительное, но не целое, и даже не выразимое с помощью простой дроби! Это число иррациональное. Но множество иррациональных чисел не нужно вводить как аксиому - оно получается совершенно логично из требований операций с числами. Правда осознать эти числа то же было проблемой в свое время, и в древности им подчас приписывали магические свойства и способности!

Но с алгеброй еще на этом не покончено! Сами уравнения то же могут разниться своим внешним видом и количеством членов в них присутствующих. Все уравнения, приведенные выше - одночлены. Двучлен в стандартной записи будет выглядеть как y=kx+b, трехчлен квадратного уравнения - y=ax^2+bx+c, четырехчлен кубического урвнения - y=dx^3+ax^2+bx+c. Схема построения ясна: каждый раз в начало правой части, сразу после знака равенства, ставится новый член с показателем степени на единичку больше, чем предыдущий раз, или еще более формализованно (а черт! тут не получается, ну да ладно! кому надо - тот знает!)

Так вот, при решении уже квадратных уравнений мы сталкиваемся с тем, что получаем в некоторых случаях числа абсурдные по своей сути, такие как "корень квадратный из минус двух"! Решение этой проблемы так же известно, и приводит к введению новой "порды" чисел: чисел мнимого множества. И что бы получить это множество, нужно АКСИОМАТИЧЕСКИ ввести мнимую единицу, определяемую, как "квадратный корень из -1" - i.

Прошу заметить, что нет, не требуется "единица простых дробей": 1/1=1! "Единица иррациональных чисел" - то же не нужна. В некотором смысле "простая единица" - то же не очень-то самостоятельна - без своего зеркального отражения -1, она не многое может, даже -1 из нее не получить, а вот из -1 сделать +1 - легче простого: -1*-1=+1!

В некотором роде у нас в распоряжении всего две единицы: -1 и i! С выведенными для них логическими правилами рассуждений, и конвенциональной записью. Это фундамент. Дальше строить будем завтра!