По-моему вторая конструкция вежливая просьба что-то сделать.
Могу и ошибаться)

Ответ на комментарий e-go7 # В то то и проблема, что она употребляется не только с кудасай

Viktorina0, ну тогда я сдаюсь! К сожалению, я еще не достаточно хорошо знаю японский, чтобы разобраться в этом)

увы мои знания тоде скромны

Nani o shini ikimasu (пойти что-либо делать) и Nani o shite ikimasu (kudasai)

есть такая форма に行きます　 - означает что ты идешь для того что-бы что-то сделать, например
図書館で本を読む(読み)に行きます。
переводится как я иду в библиотеку для того, что-бы читать книгу.

をして行きます
тут тоже говорится о том что иду что-то делать но тут по самой форме видно, что если там стоит を то там должно быть существительное (которое может стать глаголом) или глагол 3-й группы, что в принципе и так понятно.

そのために何をして行きますか?
Что ты собираешься делать для этого? (там в тексте о чем-то говорилось, поэтому не понятно для чего делать...)

Значит кратко:
1- иду для того что-бы сделать
2- иду сделать, сделаю

行ってください
Если мы ставим kudasai то у нас вежливая просьба что-то сделать это тоже самое что shite kudasai, просто itte добавляет вежливости.
Shite itte kudasai более вежливо чем shite kudasai

Мда. Нет, я конечно понимаю теперь разницу. Но все равно это трудно при переводе с русского на японский понять, что от тебя требуется.
Н-р, как ты скажешь след. предложения:
Я пойду в банк взять деньги
Пойду в магазин купить обувь
Пойду смотреть кино
Если можно, приведи еще примеров...

Viktorina0,
Я пойду в банк взять деньги　
お金をもらいに銀行へ行きます。(я тут перевела как получить деньги)
пойду в магазин купить обувь 靴を買いに店へ行きます。
Пойду смотреть кино　映画を見に行きます。
просто примеров с ni itte kudasai можно привести много, пойди туда и сделать это

с утверждением скорее всего будет так もうすぐ、友達の誕生日ですから、　家でパーティをするために、部屋をきれいに　していきます。
Так как скоро день рождения друга, для вечеринки дома я приберусь в комнате.
僕は、その山に登ることに挑戦していきます。
Я буду продолжать пытаться залезть на гору.
~shite iku я что-то сделаю
не знаю, на сколько стало понятнее

А можно хирагоной написать для человека, который только 200 иероглифов знает? А то так я точно не могу разобраться

友達 - ともだち
誕生日　－たんじょうび
家　－　うち
部屋　－　へや
僕　－　ぼく
山に登る　－　やまにのぼる
挑戦　－　ちょうせん