Важность глобальной гиперболичности для теорем об сингулярностях видна из последующего. Пусть U глобально гиперболично, и пусть p и q — точки U, которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой.Тогда существует времениподобная или нулевая геодезическая между p и q, которая максимизирует длину времениподобных или нулевых кривых из p в q.Метод доказательства состоит в том, чтобы показать, что пространство всех времениподобных или нулевых кривых из p в q является компактным в определенной топологии.После этого можно показать, что длина кривой является верхней полунепрерывной функцией на этом пространстве.Следовательно, она должна достигать своего максимума,а кривая максимальной длины будет являться геодезической, поскольку в противоположном случае малое изменение будет приводить к более длинной кривой.