ага.зачем тада поставил??

* поставилА.
захотелось.

ТЕОРИЯ ИГР - теоретическое направление в науке, использующее аппарат математического моделирования в целях предсказания, выработки лучших вариантов действий в условиях неопределенности, в игровых ситуациях.
Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выгрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.[1]

Теория игр — это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политике, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономического поведения» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу[2] о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». (Таким образом, теория игр — одна из немногих областей математики, за достижения в которой можно получить нобелевскую премию.) Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe?», «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Представление игр
Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму.

Экстенсивная форма
Основная статья: Экстенсивная форма игры

Игра «Ультиматум» в экстенсивной форме

Игры в экстенсивной, или расширенной, форме[3] представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопостален целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.

На рисунке — игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает — выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй — A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.

Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно преставлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.


Нормальная форма Игрок 2 Игрок 2
стратегия 1 стратегия 2
Игрок 1
стратегия 1 4, 3 –1, –1
Игрок 1
стратегия 2 0, 0 3, 4
Нормальная форма для игры с 2 игроками, у каждого из которых по 2 стратегии.

В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей.[4] Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы — это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы — второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок — вторую стратегию, то на пересечении мы видим (−1, −1), это значит, что в результате ходаа оба игрока потеряли по одному очку.
Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.

Характеристическая формула
В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, т. е. возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемуюю характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом преполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.

Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N \ C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N — количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой[5]) представляется парой (N, v), где N — множество всех игроков, а v : 2N → R — это характеристическая функция.
Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в харатеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.

Типы игр
Кооперативные и некооперативные
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что в кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчаших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немылые результаты. Так назывемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.
Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле

Симметричные и несимметричные А Б
А 1, 2 0, 0
Б 0, 0 1, 2
Несимметричная игра

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби».[6] В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».

В примере справа игра, на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так — ведь выигрыш второго игрока при любой из стратегий (1, 1) и (2, 2) будет больше, чем у первого.

Дилемма заключённого
В теории игр дилемма заключённого — некооперативная игра, в которой игроки стремятся получить выгоду, сотрудничая друг с другом или предавая. Как во всей теории игр, предполагается, что игрок («заключённый») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, неважно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.

Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничали (единственное равновесие в этой игре не ведёт к Парето-оптимальному решению). В этом и заключается дилемма.

В повторяющейся дилемме заключённого игра происходит периодически, и каждый игрок может «наказать» другого за несотрудничество ранее. В такой игре сотрудничество может стать равновесием, а стимул предать может перевешиваться угрозой наказания (с ростом числа итераций равновесие Нэша стремится к Парето-оптимуму).

Игра с полной информацией
Игра с полной информацией — термин теории игр, обозначающий логическую игру, в которой для соперников отсутствует элемент неопределённости.

Не вполне строго, но практически можно считать, что игра является игрой с полной информацией, если:
игроки воздействуют на игровую ситуацию дискретными действиями — ходами, порядок ходов определён правилами и не зависит от таких параметров, как скорость реакции игроков (то есть очередной ход делает тот, кто должен его сделать по правилам, а не тот, кто первым догадался или успел его сделать);
в любой момент игры все игроки имеют полную информацию о состоянии игры, то есть о позиции и всех возможных ходах любого из игроков.
Если, к тому же, ни в каких аспектах игры (правилах, возможности или очерёдности ходов, определении момента завершения игры или результата) не участвует элемент случайности, такая игра будет ещё и детерминированной.

Для любой детерминированной игры с полной информацией, теоретически, можно просчитать всё дерево возможных ходов игроков и определить последовательность ходов, которая гарантированно приведёт по крайней мере одного из них к выигрышу или ничьей, то есть всегда может быть построен алгоритм выигрыша или сведения игры вничью по крайней мере для одной из сторон. К играм с полной информацией относится большинство детерминированных настольных игр (например, шахматы, шашки, го, рэндзю, синци, сёги, крестики-нолики, реверси). Для большинства из них, однако, алгоритм выигрыша или гарантированной ничьей неизвестен: хотя теоретически он существует и может быть найден, на практике дерево вариантов слишком велико, чтобы его можно было построить и проанализировать за приемлемое время.

Антагонистическая игра
Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum) — термин теории игр.
Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока,
выигрыши которых противоположны.

Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой , где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.

Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.

Пример: Простейшим примером антагонистической игры является игра "орел-решка". Первый игрок прячет монету орлом или решкой вверх, а второй пытается угадать, как она спрятана. Если он не угадывает - он платит первому одну денежную единицу, если угадывает - первый платит ему одну денежную единицу.

В данной игре каждый участник имеет две стратегии: "орел" и "решка". В результате множество ситуаций в игре состоит из четырех элементов. Функция выигрыша первого игрока
где x и y - стратегии первого и второго игроков, соответственно.
Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то F2(x,y) = − F1(x,y).

Дифференциальные игры
Дифференциальные игры — раздел математической теории управления, в котором изучается управление объектом в конфликтных ситуациях (см. теория игр). В дифференциальных играх возможности игроков описываются дифференциальными уравнениями или дифференциальными включениями, содержащими управляющие векторы, которыми распоряжаются игроки. Для выбора своего управления каждый игрок может использовать лишь текущую информацию о поведении игроков. Различают дифференциальные игры двух игроков и многих игроков. Наиболее исследованными являются Дифференциальные игры преследования, в которых количество игроков равно 2, одного называют догоняющим, другого убегающим. Цель догоняющего — приведение вектора z(t) на заданное множество M за возможно короткое время; цель убегающего — по возможности оттянуть момент прихода вектора z(t) на M. Основополагающие результаты в дифференциальных играх получены в 60-е гг. 20 в. в СССР Л. С. Понтрягиным, Н. Н. Красовским, Е. Ф. Мищенко, Б. Н. Пшеничным и др., в США — Р. Айзексом, Л. Берковицем, У. Флемингом и др.

Игрок (теория игр)
Игрок в теории игр - рациональный индивид, имеющий заинтересованность в исходе игры и возможности воздействовать на него.

Рациональность игрока в данном определении означает, что он обладает некоторой согласованной системой предпочтений на исходах игры, неизменной на всем ее протяжении и выбирает свои действия с целью достижения наилучшего, с точки зрения этой системы, исхода, используя всю имеющуюся в его распоряжении информацию. При этом под согласованностью системы предпочтений понимается, что она представима, по крайней мере, частичным порядком, т.е. для пары исходов игры индивид может указать, является ли один лучше другого или они для него безразличны.

Заинтересованность игрока в исходе игры означает, что не все исходы одинаково предпочтительны для игрока, т.е. он имеет стимулы к выбору некоторого их подмножества.

Наличие возможностей воздействия на исход игры состоит в том, что игрок может своими действиями, по крайней мере, частично влиять на то, какой исход будет реализован. Как правило, возможности игроков моделируются в задаче теории игр при помощи множеств их стратегий. В простейшей статической постановке некооперативной игры, ее исход (ситуация) представляет собой набор стратегий, выбранных всеми участвующими игроками.

Кооперативная игра (математика)
Кооперативная игра — термин теории игр. Кооперативной называется игра, в которой группы игроков — коалиции — могут объединять свои усилия. Этим она отличается от игр, в которых коалиции неприемлемы и каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, из-за отсутствия механизмов, которые могли бы навязывать координацию действий между членами коалиции. Однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Математическое представление
Кооперативная игра задается значением для каждой (непустой) коалиции. По определению кооперативная игра на множестве игроков N -- это функция v: 2N → R, из множества всех коалиций в множество выплат (так называемая характеристическая функция). Предполагается, что пустая коалиция зарабатывает ноль, т.е. v(∅) = 0. Характеристическая функция описывает величину выгоды, которую данное подмножество игроков может достичь путем объединения в коалицию. Подразумевается, что игроки примут решение о создании коалиции в зависимости от размеров выплат внутри коалиции.

Важные понятия
Супераддитивность — свойство, при котором для любых двух коалиций A и B сумма их выгод по-отдельности не больше их выгоды при объединении:
.
Монотонность — свойство, при котором у больших коалиций выплаты больше: если .
Простые игры — особый вид кооперативных игр, где все выплаты это 1 или 0, то есть коалиции либо «выигрывают», либо «проигрывают». Простая игра называется правильной, если:
.
Значение этого: коалиция выигрывает тогда и только тогда, когда дополняющая коалиция (оппозиция) проигрывает.

Принципы оптимальности
При формулировке принципов оптимальности решений в теории кооперативных игр преобладает аксиоматический подход, при котором сначала устанавливаются в виде аксиом желаемые свойства решения, а затем определяется распределение выигрыша между игроками или множество распределений, удовлетворяющее этим свойствам.

Таким образом, решение кооперативной игры не является однозначным понятием. В зависимости от выбранной системы свойств получаемое оптимальное распределение выигрыша может быть различным. При решении конкретных задач выбирается наиболее подходящий для целей исследования принцип оптимальности. Наиболее распространенными в теории кооперативных игр являются следующие принципы:
• С-ядро
• N-ядро
• Вектор Шепли
С-ядро - принцип оптимальности в теории кооперативных игр, представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, т.е. множество векторов , таких, что:
и для любой коалиции выполнено: , где v - характеристическая функция игры.
N-ядро (нуклеолус) - принцип оптимальности в теории кооперативных игр, основанный на минимизации степени неудовлетворенности выигрышем подмножеств участников игры (коалиций).

Носитель - подмножество множества игроков в кооперативной игре, которые вносят ненулевой вклад в некоторую коалицию.
Формально носитель кооперативной игры определяется как:

где N - множество игроков в кооперативной игре, v - характеристическая функция игры.

Дополнением носителя игры является множество болванов или нулевых игроков, т.е. игроков, не вносящих никакого вклада ни в одну из коалиций.

Понятие носителя используется при определении свойств оптимальных решений кооперативной игры. Так, например, одним из свойств вектора Шепли является аксиома болвана, утверждающая, что все благосостояние тотальной коалиции (состоящей из всех игроков) должно распределяться только между игроками, входящими в носитель.

Некооперативная игра
Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.
Некооперативная игра в нормальной форме

Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка , где I - множество участников игры (сторон, игроков); Xi - множество стратегий участника i ∈ I; Hi - функция выигрыша участника i, определенная на множестве ситуаций и отображающая его во множество действительных чисел.

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.
1. Игроки, одновременно и независимо друг от друга, выбирают из множеств Xi свои стратегии. Вектор стратегий x = (x1, x2, ..., xn) всех игроков представляет собой ситуацию в игре.
2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции Hi(x), на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой форме
Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков I представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра - ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:
• начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
• промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;
• терминальные, имеющие только входящие ребра.
Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева v, соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок i, совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока Xv. Каждому ходу x ∈ Xv соответствует ребро, выходящее из вершины v.

Для каждой вершины v, соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков Hi(v).

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:
1. Игра начинается из начальной позиции.
2. В любой нетерминальной позиции v игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход x ∈ Xv, в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу x. Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.
3. Если игра попадает в терминальную позицию v, то все игроки получают выигрыши Hi(v), и игра завершается.

Принципы оптимальности
Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:
• равновесие дрожащей руки;
• совершенное равновесие.

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:
• равновесие в доминирующих стратегиях;
• решение игры по доминированию;
• равновесие в осторожных стратегиях.

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:
• равновесие, совершенное по подыграм;
• секвенциальное равновесие;
• сильное секвенциальное равновесие.
Примеры
• Дилемма заключённого
• Трагедия общин

Стратегия (математика)
В теории игр, стратегия игрока в игре или деловой ситуации - это полный план действий при всевозможных ситуациях, могущих возникнуть; это полностью определяет поведение игрока. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для любого возможного течения игры, могущего привести к данной ситуации.
Набор стратегий - стратегии для каждого из игроков, которые полностью описывают все действия в игре. Набор стратегий обязан включать одну и только одну стратегию для каждого игрока.
Понятие стратегии иногда (ошибочно) путают с понятием хода. Ход является действием одного из игроков в какой-то момент игры. Стратегию можно сравнить с полным компьютерным алгоритмом для участия в игре, который предусматривает возможность хода в любом возможном положении во время игры. К примеру, число ходов в "крестиках-ноликах" 4 или 5, в зависимости от того, кто начал; число всех стратегий 384 или 945 соответственно.

Типы стратегий.
Чистая стратегия дает полную определенность каким образом игрок продолжит игру. В частности, она определяет результат для каждого возможного выбора, который игроку может придется сделать.
Пространством стратегий называют множество всех чистых стратегий доступных данному игроку.

Смешанная стратегия - является указанием вероятности каждой чистой стратегии. Это означает, что игрок выбирает одну из чистых стратегий, в соответствии с вероятностями заданными смешанной стратегией. Выбор осуществляется перед началом каждой игры и не меняется до ее конца. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной, когда вероятность данной чистой стратегии 1 и у всех других нулевая вероятность.

Равновесие Нэша
В теории игр равновесием Нэша (названным в честь Джона Форбса Нэша, который предложил его) называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. (Один из читателей Википедии поставил под сомнение точность формулировки «не может увеличить выигрыш», поскольку в случае изначально плохого решения,- если таковое существует,- игрок может улучшить ситуацию до «нулевого варианта».) Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша (РН) не совсем точно придумана Нэшем, Антуан Августин Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргернштерном (1947).

Формальное определение
Допустим, — игра n лиц в нормальной форме, где — набор чистых стратегий, а — набор выигрышей. Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий , игрок получает выигрыш . Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком , но и от чужих стратегий. Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого
Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Функция Гранди
Функция Гранди — функция, определенная для игр для 2 игроков, где проигрывает игрок, не имеющий возможности сделать очередной ход. Широко используется в теории игр. В случае дискретных игр иногда называется нимбером.

Функция определена на множестве всех позиций игры G следующим образом:
, если позиция P - однозначно проигрышная (нельзя сделать ни одного хода)
в иных случаях(здесь Ω - множество целых неотрицательных чисел, а G(P) - множество всех допустимых ходов из позиции P)

Применение
Одно из полезных свойств функции Гранди заключается в том, что она равна нулю для всех проигрышных позиций и положительна для всех выигрышных позиций. Это даёт метод нахождения выигрышной стратегии:
1. Найти функцию Гранди, например, строя её рекуррентно, начиная с конечных позиций.
2. Если в начальной позиции функция Гранди равна нулю, то игра для первого игрока проигрышна.
3. В противном случае, первый игрок может выиграть, перемещаясь каждым ходом в позицию с нулевым значением функции Гранди.
Сумма игр
Если у нас имеется n игр G1,G2,...,Gn, то можно рассмотреть комбинацию этих игр, для которой игровое поле состоит из совокупности игровых полей для игр G1,G2,...,Gn и за один ход игрок может выбрать некоторое i, 1 ≤ i ≤ n, и сделать ход на игровом поле для игры Gi. Такая комбинация называется суммой игр G1,G2,...,Gn и обозначается G1 + G2 + ... + Gn. Ситуацию на игровом поле игры G1 + G2 + ... + Gn, когда игровое поле игры Gi находится в позиции Pi, удобно обозначать как (P1,P2,...,Pn).

Функция Гранди обладает одним удивительным свойством, которое позволяет оптимально играть в сумму игр G1 + G2 + ... + Gn, зная функцию Гранди для всех позиций каждой из игр Gi. Формулируется оно следующим образом: где — исключительное «или».