Топоним — название географического объекта.

Географическое наименование, употребленное с родовыми наименованиями город, село, станция, поселок, река и под., выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование.
Правильно: в г. Нижнем Новгороде, в городе Москве, в г. Санкт-Петербурге, в городе Владивостоке.
Географические названия обычно не склоняются в тех случаях, когда внешняя форма названия соответствует форме мн. числа: в городе Великие Луки, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают: с острова Юра, у села Миронушка, в поселке Всеволод-Вильва. Последнее замечание однако не относится к сочетаниям со словом город, поэтому правильно: в городе Туле, из города Москвы.
Приложения-топонимы среднего рода, оканчивающиеся на -о, -е (кроме слов на -ово, -ево, -ино, -ыно, о них речь пойдет ниже) обнаруживают тенденцию к несклоняемости: между селами Молодечно и Дорожно, из города Видное. Несклоняемость топонима в последнем примере объясняется еще и тем, что для человека, не знающего подлинного названия города, при склонении топонима (в городе Видном) будет трудно восстановить исходную форму (при восстановлении можно думать, что это и Видный, и Видное).
Правильно: в Видном, из Видного, но: в городе Видное, из города Видное; в Великих Луках, но: в городе Великие Луки.


В Переделкино или в Переделкине? Пушкиным или Пушкином?

Топонимы славянского происхождения на -ов(о), -ев(о), -ин(о),-ын(о) традиционно склоняются: в Останкине, в Переделкине, к Строгину, в Новокосине, из Люблина. Однако в последние десятилетия сложилась тенденция к употреблению несклоняемого варианта. Первоначально несклоняемые формы употреблялись лишь в речи географов и военных, потому что очень важно было давать названия в исходной форме, чтобы не было путаницы: Киров и Кирово, Пушкин и Пушкино и т. п. Но постепенно из устной речи несклоняемые формы проникли в письменную речь и стали настолько широко распространенными, что изначально единственно правильный склоняемый вариант многими теперь воспринимается как ошибочный! Заметим также, что за последние десятилетия появилась устойчивая тенденция не изменять исходной формы названия населенных пунктов, если они употреблены в качестве приложения, вместе с родовым наименованием.
Итак, в современном русском литературном языке действуют такие нормы. Если есть родовое слово (город, район, село и т. п.), то правильно не склонять: из района Люблино, в сторону района Строгино. Если же родового слова нет, то правильны оба варианта, склоняемый и несклоняемый: в Люблино и в Люблине, в сторону Строгино и в сторону Строгина.
Правильно: в городе Пушкино, в городе Иваново, в районе Перово, но (без родового слова): в Пушкино и в Пушкине, в Косово и в Косове.
Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин,-ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом, например: Львов - Львовом, Канев - Каневом, Крюково - Крюковом, Камышин - Камышином, Марьино - Марьином, Голицыно - Голицыном.
В отличие от названий городов русские фамилии на -ин (-ын) и на -ов(-ев) имеют в творительном падеже единственного числа окончание -ым, ср.: Пушкин (фамилия) - Пушкиным и Пушкин (город) - Пушкином; Александров (фамилия) - Александровым и Александров (город) – Александровом.


В Камне-Каширском, в городе Камень-Каширском?

Если сложносоставной топоним представляет собой русское или давно освоенное название, в косвенных падежных формах его первая часть должна склоняться: из Камня-Каширского, в Переяславле-Залесском, в Могилеве-Подольском, в Ростове-на-Дону. То же в сочетании с родовым термином: в городе Петропавловске-Камчатском, в городе Ростове-на-Дону.
Все топонимы, у которых первая часть названия имеет морфологическую примету среднего рода, охвачены тенденцией к неизменяемости: из Ликино-Дулева, в Лосино-Островском, в Соболево-на-Камчатке.
Правильно: в Камне-Каширском, из Переславля-Залесского, в городе Могилеве-Подольском, но: в Ликино-Дулеве, у города Соболево-на-Камчатке.


В Республике Германия, в Республике Чехии?

Официальные названия республик согласуются со словом республика, если имеют форму женского рода, оканчивающуюся на -ия и -ея: Правительство Республики Кореи, в Республике Швейцарии. Исключение составляет несклоняемое название Германия в сочетании со словом республика: в Федеративной Республике Германия
Названия республик не согласуются, если имеют форму мужского рода или форму женского рода, оканчивающуюся на -а и без окончания: в Республике Ливан, в республике Саха, в Республике Куба.
Правильно: с Республикой Белоруссией, из Республики Чехии, но: в Федеративной Республике Германия.


В городе Вашингтон или в городе Вашингтоне?

Иноязычные названия, оканчивающиеся на согласный, обычно не склоняются в функции приложения:
в городе Вашингтон, в городе Луисвилл, в городе Мобеж, в г. Ниамет, в провинции Зядинь, близ города Мэнстон.


В Осаке или в Осака?

Выделяются следующие типы иноязычных географических наименований: на -а; -о и -е; на -и, -ы; на согласный.
Некоторые освоенные названия на -а склоняются: Бухара, Чита, Анкара. Не склоняются многосложные географические названия итальянского и испанского происхождения: в Сантьяго-де-Куба, от Пола-де-Лена, из Сантьяго-де-Компостела; не склоняются французские топонимы с наконечным окончанием: Гра, Спа, Ле-Дора. Названия с наконечным окончанием склоняются: в Тулузе, Женеве, Лозанне; обнаруживают тенденцию к несклоняемости японские названия на -а: в Осака. Также не склоняются финские и эстонские географические названия: Сиргала, Иотуса, Кунда. Абхазские и грузинские названия обычно не склоняются. Но названия курортов: в Пицунде, в Гагарах, из Гадаут.
Топонимы на -о и -е не склоняются в русском литературном языке: в Осло, Токио, Бордо, Мехико, Сантьяго Кале, Гродно, Вильно, Ковно. Большую тенденцию к склоняемости имеют топонимы на -ы: в Катовицах, Фивах, Татрах, Каннах, Чебоксарах. Обычно не склоняются названия на -и: из Чили, Тбилиси, Нагасаки, Сухуми.
Топонимы на согласный обычно склоняются при условии, что название не употреблено в функции приложения: в городе Мантасас, в 70 километрах от Мантасаса. От указанной группы отступают латиноамериканские названия на –ос: в Фуэнтос. Не склоняются сложные наименования типа Пер-Лашез, Майн-Милл, Пуэрто-Монт. Не склоняются сложносоставные наименования со второй частью -стрит, -сквер, -парк, -палас: по Элвин-стрит, на Юнион-сквер, в зале Фридрих-штадт-палас, в Энмор-парк.


Во Франфурте-на-Майне или во Франкфурт-на-Майне?

Первая часть сложносоставных иноязычных топонимов, как правило, не склоняется: в Алма-Ате, под Буэнос-Айресом, из Йошкар-Олы. Исключение – первая часть в конструкции «топоним на реке»: во Франкфурте-на-Майне, к Шведту-на-Одере, из Стратфорда-на-Эвоне.
Если любое иноязычное сложносоставное название употреблено в функции приложения с нарицательными словами типа город, местечко, столица, порт и под., оно и во второй части оставляется в неизменяемой форме: в городе Санта-Крус, в боливийской столице Ла-Паса.