. Интерполяционный многочлен Ньютона.

Обозначим через Pn(x) - интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для узлов x0,xl,…,xn и значений функции f0,f1,...,fk . Благодаря очевидному тождеству

Pn(x) = P0(x)+(P1(x)-P0(x))+(P2(x)-P1(x))+...+(Pn(x)-Pn-1(x)), (4.1)

известному выражению для Pn(x)можно придать другой вид. Действительно, заметим, что каждая из скобок(Pk(x)-Pk-1(x))представляет собой многочлен степени k , принимающий нулевое значение в узлах x0,xl,…,xk-1 , поскольку в этих точках значения Pk(x)и Pk-1(x)совпадают. Значит,

Pk(x)-Pk-1(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xk-1)Ak , (4.2)

Число Ak можно найти, подставив в (4.2) x = xk. Получаем

fk - Pk-1(xk) = (xk-x0)(xk-x1)...(xk-xk-1)Ak ,