Это цитата сообщения seleonov Оригинальное сообщение

Фрактал

Фрактал (лат. fractus — дробленый) — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

• Является самоподобной или приближённо самоподобной.

• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

• Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Содержание 1 История 2 Примеры 2.1 Самоподобные множества с необычными свойствами в математике 2.2 Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых 2.3 Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений 2.4 Фракталы в комплексной динамике 2.5 Стохастические фракталы 3 Применение фракталов 3.1 Компьютерная графика 3.2 Анализ рынков 3.3 Физика и другие естественные науки 3.4 Литература 3.5 Фрактальные антенны 3.6 Сжатие изображений 3.7 Децентрализованные сети 4 Галерея 5 См. также 6 Ссылки 6.1 Программы для генерации фрактальных изображений 6.2 Сайты о фракталах 7 Литература

 

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

 

Примеры

 

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
• треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
• губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

 

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

• кривая дракона;
• кривая Коха;
• кривая Леви;
• кривая Минковского;
• кривая Пеано.
• с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора

...

 Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

...

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

...

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельборта о том, что её размерность равна 4/3.
• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например в модели Изинга и перколяции.
• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, состоящие в получении изображения случайного фрактала. 

 

Применение фракталов

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д.

 

Анализ рынков

Последнее время Фракталы стали популярны у «трейдеров» для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

 

Физика и другие естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Также фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

 

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста

• неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
• неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»)

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна

• венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
• «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе»)
• предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы»)
• Т.Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём)

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому

• Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
• Х.Кортасар «Жёлтый цветок»
• Ж.Перек «Кунсткамера»

 

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

 

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы для сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо изображения можно хранить отображение сжатия, для которого это изображение является неподвижной точкой.

 

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

 

Галерея

 

См. также

• Квазифрактал
• Мультифрактал
• Размер и размерность" href="http://en.wikibooks.org/wiki/ru:_%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80_%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C">wikibooks: ru: Размер и размерность
• Алгоритм фрактального сжатия
• Теорема о рекурсивных системах (см. раздел «Высшее руководство»)

 

Ссылки

 

Программы для генерации фрактальных изображений

• Incendia — Первый фрактальный генератор в полноценной 3D графике (Donationware);
• Ultra Fractal — пожалуй, самая мощная программа, предназначенная для создания и анимации изображений по фрактальному алгоритму;
• Fractal Explorer — одна из лучших на сегодняшний день программ для создания изображений фракталов;
• XaoS — многоплатформенный генератор фракталов, позволяет приближать и удалять картинку в реальном времени;
• Fractint — очень мощная многоплатформенная программа, развитие которой, к сожалению, давно остановилось;
• Chaoscope — программа трёхмерной визуализации странных аттракторов;
• Apophysis — программа для создания fractal flames. Fractal flames является расширением IFS фракталов;
• RPS/Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Pocket PC (PDA);
• P.Fract — несложный бесплатный генератор фракталов для платформы Palm (PDA);
• EyeFract
• Gnofract 4D
• IFS Illusions — Искусственное искусство программа и галереи
• Sterling2

 

Сайты о фракталах

• Фрактальные множества — Очень подробная и качественная статья, начиная с комплексных чисел (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ)
• Архивохранилище Фрактал опубликовало на USENET
• Фракталы и теория хаоса
• Введение во фракталы
• Доступно о фракталах
• Фракталы в НГУ: описания, форум, программа IFS Builder 3d
• Фракталы от OCo
• Фракталы, как следствие работы алгоритмов в природе
• Красивая жизнь комплексных чисел
• Fractals of aramin (англ.)
• Электронная библиотека по нелинейной динамике — книги о фракталах
• Фракталы, мультифракталы и не только
• Фракталы в литературе: в поисках утраченного оригинала
• Фрактальные системы. Основы теории систем.
• Фракталы Др. Снейка.
• Фрактальная корова в 3D (англ.) — пример с наличием сарказма и исходных кодов для фрактализации объектов в Blender

 

Литература

• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB